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RKA22JL - Olá! Tudo bem com você?
Vamos começar agora mais uma aula de matemática.
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E, nessa aula, vamos começar a conversar
sobre o teorema da divergência.
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Mas o que é o teorema da divergência?
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O teorema da divergência realiza uma igualdade
entre um fluxo de uma superfície de um campo vetorial
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e a integral tripla sobre a região tridimensional
delimitada pela superfície do divergente do campo vetorial.
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Ou seja, vamos supor que
haja um campo vetorial F.
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A integral dupla sobre a superfície do produto escalar
entre o campo vetorial F e o vetor normal da superfície,
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que representamos
com um n chapéu, dS,
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é igual à integral tripla sobre
a região R do divergente de F, dV,
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que representa o
diferencial de volume.
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O que vamos começar a fazer neste vídeo
é realizar a demonstração deste teorema,
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mas, para isso, vamos assumir que estamos lidando
com uma região sólida simples
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e isso significa que, formalmente,
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estamos pensando em uma região que pode ser
do tipo um, do tipo dois ou do tipo três.
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Já existem vídeos nos quais eu falei
sobre o significado desses tipos de regiões,
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mas a maioria das formas básicas acabam sendo
uma dessas regiões, ou seja, é uma região sólida simples.
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Por exemplo, uma esfera ou um cilindro se enquadram
em um desses tipos de regiões,
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mas e quando a região não
for de nenhum desses três tipos?
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O ideal é que você faça uma transformação,
fazendo com que ela se torne uma região simples.
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Mas vamos supor que estamos
lidando com uma região sólida simples.
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Sabendo disso, vamos assumir que o nosso
campo vetorial F pode ser escrito como:
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P, que é uma função de x, y e z,
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vezes i chapéu, mais Q, que também é
uma função de x, y, z, vezes j chapéu,
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mais R, que é outra função
de x, y e z, vezes k chapéu.
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Feito isso, vamos abrir cada
um desses lados da igualdade.
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Primeiro, vamos pensar
sobre o F escalar, n.
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Vamos pensar
um pouco sobre isso.
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O produto escalar entre F e n é igual a essa componente
vezes a componente i de n, mais essa componente
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vezes a componentes j de n, mais essa componente
vezes a componente k de n.
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Podemos escrever isso como P vezes, entre parênteses,
o produto escalar entre i chapéu e n chapéu.
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Não podemos esquecer que
i chapéu é um vetor unitário, ok?
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Precisamos deixar isso bem claro, porque,
ao calcular o produto escalar entre i chapéu e n chapéu,
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teremos apenas a componente i
do vetor normal n chapéu.
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E aí, vamos multiplicar isso por P, ou seja,
basicamente, vamos fazer o produto escalar
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entre os módulos
das componentes de x.
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Somamos isso com o Q vezes j chapéu,
escalar com n chapéu.
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Novamente, fazendo o produto escalar
de j chapéu com n chapéu,
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teremos o produto escalar entre
os módulos das componentes j.
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Isso mais R vezes
k chapéu escalar, n chapéu.
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Não costumamos ver dessa forma, mas
podemos dizer que é razoável pensar assim.
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Afinal, isso será igual a P vezes o módulo da
componente i do vetor normal n,
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e isso é exatamente o que queremos no produto escalar,
e o mesmo se aplica à componente j e à componente k.
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Você pode tentar definir o n chapéu como sendo igual
a m vezes i chapéu, mais n vezes j chapéu,
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mais O vezes k chapéu, ou algo parecido,
e verá que isso funciona muito bem.
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Enfim, visto isso agora, como
podemos simplificar essa expressão?
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Podemos reescrever o lado esquerdo
como a integral de superfície de F.
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Eu vou escrever isso aqui várias vezes.
Então colocamos F escalar dS, que é igual
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à integral de superfície de r escalar, n chapéu,
vezes o escalar dS.
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Ou seja, é igual à integral dupla sobre a superfície
de tudo isso que escrevi.
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Eu vou reescrever
rapidinho novamente, ok?
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Colocamos tudo isso aqui
entre parênteses e, no final, o dS.
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Agora, tudo isso pode ser reescrito como
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a integral da superfície de P vezes o
produto escalar entre i chapéu e n chapéu, dS,
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mais a integral de superfície de Q, vezes o
produto escalar entre j chapéu e n chapéu, dS,
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mais a integral de superfície de R, vezes o produto escalar
entre k chapéu e n chapéu, vezes o escalar dS.
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Observe que eu quebrei isso aqui.
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Eu estava fazendo
a integral dessa forma.
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Agora, o que temos aqui é a soma das integrais,
e tudo isso é o lado esquerdo do teorema da divergência.
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Agora, vamos pensar
sobre o lado direito.
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Qual é o divergente de F? O divergente de F,
baseado nessa expressão de F,
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será igual à parcial de P em relação a x, mais a parcial de
Q em relação a y, mais a parcial de r em relação a z.
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Sabendo disso, essa integral tripla pode ser reescrita
como a integral tripla da parcial de P em relação a x,
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mais a parcial de Q em relação a y,
mais a parcial de r em relação a z.
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Isso aqui de novo, ao invés de escrever
como a integral tripla dessa soma,
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podemos escrever como
a soma das integrais triplas.
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Então isso pode ser reescrito como a integral tripla
sobre a nossa região tridimensional da parcial de P
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em relação a x, dV, mais a integral tripla
da parcial de Q em relação a y, dV,
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mais a integral tripla da parcial
de r em relação a z, dV.
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Novamente falando, o teorema da divergência diz
que isso precisa ser igual a tudo isso aqui.
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Só escrevemos essa igualdade aqui
em cima de uma forma diferente.
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Sendo assim, para provar que
essa igualdade é verdadeira,
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temos que mostrar que cada um desses
termos correspondentes são iguais entre si.
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Ou seja, que esses dois aqui são iguais entre si,
que esses aqui são iguais entre si
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e que esses aqui são iguais entre si.
O nosso objetivo é provar isso.
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Claro, nossa região R pode ser do tipo um,
do tipo dois ou do tipo três,
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mas, particularmente, vamos fazer isso
em uma região do tipo um.
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Porém, você pode utilizar o mesmo argumento
para regiões do tipo dois e do tipo três.
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Ou seja, para que o teorema da divergência seja verdadeiro,
cada um desses termos precisa ser igual.
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Enfim, eu espero que você
tenha compreendido tudo direitinho
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e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!