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o Olá tudo bem com você Vamos começar
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agora mais uma aula de matemática e
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nessa aula vamos começar a conversar
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sobre o teorema da divergência mas o que
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é o teorema da divergência o teorema da
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divergência realiza uma igualdade entre
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um fluxo de uma superfície de um campo
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vetorial e a integral tripla sobre a
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região tridimensional delimitada pela
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superfície do divergente do campo
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vetorial ou seja vamos supor que a gente
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tem um campo vetorial efe a integral
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dupla sobre a superfície do produto
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escalar entre o campo vetorial f e o
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vetor normal da superfície que
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representamos com ele chapéu de S =
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integral tripla sobre a região R do
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divergente DF de ver que representa o
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diferencial de volume o que vamos
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começar a fazer nesse vídeo é realizar a
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demonstração deste teorema mas para isso
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vamos assumir que estamos lidando como a
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região sólida simples e isso significa
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é normalmente Estamos pensando em uma
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região que pode ser do tipo um do tipo 2
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ou do tipo três já existem vídeos na
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qual eu falei sobre o significado desses
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tipos de regiões mas a maioria das
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formas básicas acabam sendo uma dessas
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regiões Ou seja é uma região sólida
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simples por exemplo uma esfera um
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cilindro se enquadra em um desses tipos
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de regiões Mas e quando a região não for
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de nenhum desses três tipos aí o ideal é
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que você faça uma transformação fazendo
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com que ela se torne uma região simples
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mas enfim vamos supor aqui que estamos
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lidando com uma região sólida simples
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sabendo disso vamos assumir aqui que o
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nosso campo vetorial F pode ser escrito
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como pq é uma função de X Y Z vezes
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chapéu mais que e também é uma função de
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X Y Z XJ chapéu mais R que é outra
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função de X Y Z vezes cai chapéu feito
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isso vamos abrir cada um desses lados
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aqui é bem Primeiro vamos pensar sobre o
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f escalar n Vamos pensar um pouco sobre
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isso o produto escalar entre FM é igual
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a essa componente bem aqui vezes a
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componente higiene mais essa componente
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aqui vezes a componentes jdn mais essa
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componente aqui vezes essa componente
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Card n então podemos escrever isso como
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P vezes entre parênteses o produto
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escalar entre chapéu e n chapéu não
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podemos esquecer e e chapéu vamos vetor
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unitário ok a gente precisa deixar isso
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bem claro aqui porque ao calcular o
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produto escalar entre chapéu e ele
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chapéu teremos apenas a componente I do
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vetor normal n chapéu E aí vamos
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multiplicar isso por P ou seja
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basicamente vamos fazer o produto
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escalar entre os módulos das componentes
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de X aí somamos isso com o que vezes J
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chapéu está lá com ele chapéu e
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novamente fazendo pro o DJ chapéu com
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ele chapéu teremos o produto escalar
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entre os módulos das componentes J aí
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isso mais R vezes chapéu escalar em
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chapéu bem não costumamos ver dessa
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forma mas podemos dizer que é razoável
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pensar assim Afinal isso aqui será igual
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a PV vezes o módulo da componente e do
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vetor normal n e isso exatamente o que
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queremos um produto escalar e o mesmo se
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aplica a componente j&a componente Car a
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você pode tentar definir o m chapéu como
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sendo igual a m vezes chapéu mais n VJ
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chapéu mais ó vezes que a chapéu ou algo
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parecido e verá que isso funciona muito
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bem enfim visto isso aqui agora como
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podemos simplificar a expressão bem
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Podemos reescrever o lado esquerdo como
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a integral de superfície DF eu vou
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escrever isso aqui várias vezes tá então
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colocamos aqui é ficar lá DS que é igual
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a integral de o cid-f escalar n chapéu
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vezes o escalar esse Ou seja é igual a
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integral dupla sobre a superfície de
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tudo isso que eu escrevi aqui eu vou
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reescrever rapidinho aqui novamente ok
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aí a gente coloca tudo isso aqui entre
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parênteses E aí no final coloca o DS
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agora tudo isso pode ser reescrito com a
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integral da superfície DP vezes o
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produto escalar entre e chapéu e ele
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chapéu DS mais a integral de superfície
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de que vezes o produto escalar entre J
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chapéu e ele chapéu DS mais a integral
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de superfície Dr vezes o produto escalar
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entre cá chapéu e n chapéu vezes o
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escalar DS Observe que eu quebrei isso
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aqui eu estava fazendo integral dessa
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forma agora o que temos aqui é a soma
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das integrais e tudo isso é o lado
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esquerdo do teorema da divergência agora
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vamos pensar sobre o lado direito Qual é
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o divergente DF bem o o DF baseado nessa
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expressão DF será igual a parcial de P
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em relação a x mas a parcial de que em
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relação à Y mas é parcial de hera em
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relação a z sabendo disso essa integral
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tripla que pode ser reescrita como a
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integral tripla da parcial de P em
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relação a x mais a parcial de que em
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relação à Y mais a parcial de hera em
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relação a z isso aqui de novo ao invés
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de escrever com a mão integral tripla
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dessa soma podemos escrever com uma soma
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das integrais triplas então isso aqui
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pode ser reescrito como a integral
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tripla sobre nossa região tridimensional
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da parcial de P em relação a x de ver
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mais a integral tripla da parcial de que
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em relação à ydv mais a integral tripla
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da parcial de hera em relação a z de ver
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e novamente falando o teorema da
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divergência de que isso precisa ser é
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isso aqui tô escrevendo mas essa
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igualdade aqui em cima de uma forma
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diferente sendo assim para provar que
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essa igualdade a verdadeira temos que
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mostrar que cada um desses termos
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correspondentes são iguais entre si Ou
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seja que esses dois aqui são iguais
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entre si e esses aqui são iguais entre
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si e que esses aqui são iguais entre si
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o nosso objetivo é provar isso a Claro
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nossa região R pode ser do tipo um do
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tipo 2 o tipo três mas particularmente
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vamos fazer isso aqui em uma região do
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tipo um porém você pode utilizar o mesmo
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argumento para regiões do tipo 2 e do
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tipo 3 ou seja para que o teorema da
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divergência Seja verdadeiro cada um
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desses termos precisam ser iguais enfim
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eu espero que você tenha compreendido
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tudo direitinho e mais uma vez eu quero
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deixar para você aqui Um grande abraço e
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até a próxima