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Comenzamos nuestro estudio de los principios básicos de la optimización, al observar
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una forma muy general del problema de la optimización, que se proporciona mediante lo siguiente. Maximizando
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sobre una variable X y una función objetivo t de x. Para ofrecer cierta motivación, piensen en
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el problema como si fuera el que tenía la empresa que quería maximizar la ganancia bruta,
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representada por t de x. En una función de una acción, que puede asumir x. Siendo el "x" cualquier
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número. Un poco de terminología. En un problema general de optimización, la variable
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que podemos controlar se llama variable de control. Y se observa la variable
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que elegimos --- y la función con la que estamos tratando de maximizar, en este caso T de X
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se llama función objetivo. Usando esta terminología, la meta del problema de optimización
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consiste en seleccionar el nivel de variable de control que
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genera el valor máximo de la función objetivo. Para proporcionar
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cierta intuición-- consideren la representación gráfica del problema. Tenemos cierta función
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digamos que algo como esto, es la función T de
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X, y lo que estamos tratando de hacer es encontrar el eje de X, en este acceso que proporciona,
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el nivel máximo de la función. En esta presentación gráfica, esto sería a este nivel.
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Afortunadamente, hay una fórmula que se puede uno aprender en cálculo, que nos permita optar por
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la función "t". Aplíquense ciertas derivadas, y encontrarán el contenido general de "x" que
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maximiza la función. Y la fórmula se presenta pero en lo que se conoce como el primer orden.
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O las condiciones necesarias, y segundo orden o condiciones suficientes.
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Las condiciones de primer orden dictan que cualquier punto -que es un máximo local- debe satisfacer la
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condición en la que su derivada equivale a cero. No obstante, recordarán con base en cálculo
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que las condiciones necesarias no son suficientes. Ciertos puntos podrían
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satisfacer las condiciones y aún no ser un máximo. Y veremos un ejemplo de esto a continuación.
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No obstante, si un punto también satisface lo que llamamos segundo orden o
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condiciones suficientes, que en este caso se obtiene por su segunda derivada, siendo menos de cero.
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Entonces dicho punto es un máximo local.
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Para comenzar y practicar lo que acabamos de aprender, veamos este sencillo ejemplo:
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Considerando la función. 10 menos X menos 5 al cuadrado. Esto viene siendo la función de ganancias,
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que estamos tratando de maximizar. A fin de encontrar un máximo, será necesario..
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aplicar las condiciones de primer orden, por lo que decimos que la derivada de la función objetivo,
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en este caso menos 2 por X menos 5 tiene que ser igual a cero.
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Y al aplicar un poco de álgebra, esto implica que...
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...X al óptimo tiene que ser igual a cinco. Ahora, sabemos que estas condiciciones son necesarias,
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pero no suficientes, así que pensemos en las condiciones de segundo orden. Usemos las
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suficientes. Eso requiere que obtengamos una segunda derivada de la función, de la
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derivada de esto, que en este caso significa que la segunda derivada de esta función,
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da menos dos, que es menor que cero, lo cual supone que se han podido satisfacer
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las condiciones del segundo orden, y que el óptimo local único, o máximo local,
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por lo tanto el máximo global es "x" igual a 5. Permítanme proporcionarles tres tipos de
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intuiciones distintas por las que las condiciones del primer y segundo orden resultan de tal manera.
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Empecemos con la intuición gráfica de condiciones del primer orden.
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Suponiendo que tenemos una función que más o menos se representa así.
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Esa es la función objetivo que estamos tratando de maximizar. Recuerden que la condición del primer...
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..orden dicta que en cualquier máximo local la derivada en el óptimo, dentro del máximo local
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tiene que ser igual a cero. Ahora para demostrar por qué se presenta este caso,
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consideremos un punto, por ejemplo X, en el cual la derivada definitivamente no es igual a cero.
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En este caso particular es positivo. Resulta fácil ver que el valor
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de la función en dicho punto no puede ser un máximo, es decir,
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X no se puede maximizar en la función, ya que como el denominador es positivo,
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si se mueve levemente hacia la derecha, digamos, un punto como X más Δ X,
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se puede incrementar el valor de la función, aproximadamente por el valor de la
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pendiente por Δ X. Ahora, también es fácil observar que si se está en un punto tal como...
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..X^, en el que, en este caso el valor de la pendiente es negativo.
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También se está sin maximizar ya que al moverse aun punto como X^ menos D X
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menos Δ X, también se puede incrementar el valor de la función con resultados similares.
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Ahora, es muy fácil ver que el único punto en el que no se puede aplicar este truco de mejorar el valor
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de la función objetivo al cambiar el valor del X radica en un
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punto como x*, en el que la pendiente es cero. Ya que al moverse a nivel local ya sea a la izquierda
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o a la derecha, el valor de la función objetivo no cambiaría. Esto proporciona la intución de y.
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Las condiciones del primer orden deben satisfacer
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esta propiedad a un máximo local. Ahora, consideremos una intuición gráfica para y.
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Las otras condiciones tienen quedan de tal manera. Para recordarles, la condición del segundo orden
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se da por parte de la derivada secundaria, y el óptimo local
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tiene que ser menor a cero. Esto proporciona, en conjunto con las condiciones del primer orden,
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...suficientes condiciones para la optimización. Ahora para
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ver por qué se presenta el caso, comparemos dos funciones. Esta es de la izquierda,
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que no satisface las condiciones del segundo orden en el punto x*.
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De hecho, es fácil ver que en este caso la segunda derivada x* es mayor al cero.
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La pendiente se torna progresivamente más positiva conforme uno recorre hacia la derecha.
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Comparemos esto a una función como la siguiente. Tal como la función anterior y en la que x*,
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nuestro candidato para ser el óptimo local, la segunda derivada
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satisface la otra condición. Veamos por qué se presenta el caso en el que x* no es el máximo,
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sino que constituye un máximo aquí y es la clave. El fundamento de la diferencia yace en la
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condición del segundo orden. Ahora bien, si se empieza en x* en la
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gráfica de la izquierda, y se mueve levemente hacia la derecha por Δx. Como la pendiente es cero,
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no se cambia realmente el valor de la función. Así que eso no nos sería de gran ayuda.
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No obstante, y aquí está la intuición clave que se tiene que ver. Como la segunda derivada es
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positiva, el valor de la pendiente cambia cuando se recorre de x a x*
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más delta x. Y se vuelve positiva, aquí en este nuevo punto. Esto significa que si
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se realiza un paso adicional, diagamos por otra delta X, ya que esta pendiente es positiva,
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estando en x* , más delta X. La función ahora ha incrementado, lo cual significa que al recorrer
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dos delta X hacia la derecha, se puede mejorar el valor de la función, lo cual significa que no puede
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ser un óptimo. En contraste, veamos qué pasa si se trata de
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realizar lo mismo en x* en la gráfica de la derecha. Tal como antes, las condiciones del primer
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orden se han podido satisfacer. Así que la pendiente es cero en x* pero si se trata de recorrer hacia la...
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..derecha, porque digamos que por delta X, ya que la segunda derivada ahora es menor
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que cero, la pendiente en sí desciende. Se vuelve negativa. Por lo tanto, al tratar de recorrer la X a
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mayor distancia, el valor de la función disminuye. Resulta fácil observar, y les
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sugiero que se convenzan a ustedes mismos que no importa en este argumento, ya sea que el
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movimiento se realice hacia la derecha o la izquierda, en ambos casos proceden de manera análoga.
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Esto demuestra la intuición de "y", la condición de segundo orden,
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t prima doble de x* menos que cero, proporciona suficientes condiciones para que el punto sea
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un máximo local. Veamos por qué se representan así
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las condiciones de optimización, desde una perspectiva distinta. En este caso una perspectiva
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matemática. Por cierto, estoy empleando distintas intuiciones, ya que para algunos de ustedes
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algunas resultarán más naturales que otras. Ahora, recordarán que...
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..en Cálculo básico, el valor de la función objetivo, u operación de cualquier función
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a un punto x + dx, se puede aproximar muy acertadamente por el valor de
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la función en x, más la derivada de la función x por delta x, más
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la segunda derivada de la función en x por dx al cuadrado, más varios otros términos de
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orden superior, que se aproximan a cero, hacia una leve variación en el valor de x.
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Ahora, con esto en mente, el cambio en la función objetivo que se produce en el cambio
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a delta X se puede anotar como DT, el cambio en la función, es aproximadamente
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igual a la derivada en x por delta x más la segunda derivada en x por
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DX al cuadrado. Ahora para que una función se maximice en x, se daría el caso en el que
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no podríamos encontrar un cambio pequeño, delta x -ya sea positivo o negativo-
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que incremente el valor de la función. Es decir, eso es lo que hace que el cambio en la función
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sea positivo. Pero fíjense en que si el punto x satisface las condiciones del primer orden,
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las condiciones necesarias, el término es cero ya que la primera derivada es igual a cero.
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Cabe añadir que si satisface las condiciones del segundo orden,
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este término es negativo. Y por lo tanto, el cambio total de la función tiene que ser
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menor de cero. Es decir, cuando las condiciones del primer orden y las condiciones del
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segundo orden se satisfacen, no es posible encontrar un cambio pequeño, y local
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Dx que incremente el valor de la función. Finalmente, considerando
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la intuición económica detrás del problema de maximización. Recuerden
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la interpretación de la función objetivo, T de X como cierto beneficio, al efectuar la
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acción X, con medida en dólares. Por ejemplo, si fueran una empresa, t de x podría denotar
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la ganancia de asumir la acción x. Ahora, bajo esta interpretación del problema,
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la derivada de la función x se llama beneficio marginal, que es un concepto que usaremos
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constantemente a lo largo del curso, y que abreviaré con el acrónimo MB.
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Ahora bien, el beneficio marginal en X es igual a ya sea el incremento en beneficio
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que se produce al aumentar X por una unidad o alternativamente disminuyen
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en beneficio que se produce al reducir X por una unidad. Ahora una propiedad importante de un
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óptimo, consiste en que al estar en el punto óptimo -o máximo- el beneficio marginal tiene que
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ser igual a cero. Ahora bien, ¿por qué se dio el caso? Bueno, supongamos que este no fue el caso.
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Por ejemplo, supongamos que el beneficio marginal es mayor que cero. Entonces, evidentemente,
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las ganancias -o beneficios- no se maximizaron en x*, ya que se podrían aumentar
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al incrementar X en una medida pequeña. Así que si quieren aumentar X, se aumentan las
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ganancias, o la función de beneficio T. De manera similar, si el beneficio marginal es menor al cero,
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tampoco se puede maximizar el beneficio, ya que en este caso al disminuir x,
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también se pueden incrementar beneficios. Siguiendo con que en el óptimo,
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el beneficio marginal tiene que ser igual a cero. Ahora que el último principio que hemos visto
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en intuición económica es tan importante que cabe reiterarlo.
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Un actor económico que está desempeñándo una acción óptima elegirá su nivel de
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actividad en el punto en el que el beneficio marginal sea igual a cero. El beneficio marginal es
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igual a cero, grábense eso en la memoria. Por que de no ser así,
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eso no constituiría optimizar. Si el beneficio marginal no fuera igual a cero podría aumentar los
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beneficios o ganancias ya sea aumentando su nivel de actividad o
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disminuyendo su nivel de actividad.