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Como construir um vetor normal unitário

  • 0:00 - 0:02
    RKA22JL - Olá,
    tudo bem com você?
  • 0:02 - 0:05
    Você vai assistir agora a mais
    uma aula de matemática,
  • 0:05 - 0:11
    e, nessa aula, vamos construir
    um vetor unitário normal a uma determinada superfície.
  • 0:11 - 0:16
    Mas, antes disso, é importante lembrar que
    é muito comum, em diversas situações,
  • 0:16 - 0:20
    realizarmos o cálculo de
    uma integral de superfície.
  • 0:20 - 0:25
    Essa integral corresponde ao fluxo
    através de uma determinada superfície.
  • 0:25 - 0:33
    Sabendo disso, podemos observar essa superfície
    e construir um vetor unitário normal a essa superfície.
  • 0:33 - 0:39
    Na verdade, podemos construir um vetor unitário normal
    a qualquer ponto dessa superfície.
  • 0:39 - 0:47
    Para fazer isso, eu vou supor que nossa superfície
    possa ser parametrizada pela função de posição do vetor r,
  • 0:47 - 0:50
    em que r é uma função
    de dois parâmetros.
  • 0:50 - 0:56
    É uma função de u e uma função de v, ou seja,
    tendo um valor u e um valor v,
  • 0:56 - 1:04
    podemos colocar nessa função, pois ela vai essencialmente
    especificar um ponto nessa superfície bidimensional.
  • 1:04 - 1:11
    Uma coisa que posso falar é que essa superfície
    pode ser curvada, ela não precisa ser plana.
  • 1:11 - 1:15
    Ou seja, ela pode existir
    em um espaço tridimensional.
  • 1:15 - 1:21
    Com isso, um certo u e um certo v vão especificar
    um dado ponto nessa superfície.
  • 1:21 - 1:25
    Agora, vamos pensar sobre como
    as direções de r se parecem,
  • 1:25 - 1:31
    ou seja, o que é a parcial de r em relação a u,
    e o que é a parcial de r em relação a v.
  • 1:31 - 1:38
    Para isso, vamos dizer que estamos em um
    determinado ponto. Ou seja, estamos em um ponto uv.
  • 1:38 - 1:44
    Para um determinado uv, encontramos um vetor de posição
    que nos leva a esse ponto na superfície.
  • 1:44 - 1:47
    Então, vamos dizer que
    adicionamos a u um pequeno valor.
  • 1:47 - 1:52
    Ao adicionar um pequeno valor a u,
    vamos obter um outro ponto da superfície.
  • 1:52 - 1:55
    Vamos dizer que esse
    outro ponto na superfície é aqui.
  • 1:55 - 1:58
    Sendo assim, como esse
    vetor ru vai se parecer?
  • 1:59 - 2:04
    O módulo dele vai depender da rapidez
    com a qual essa pequena mudança ocorreu,
  • 2:04 - 2:08
    ou seja, o quão rápido nos
    movimentamos em direção a esse ponto.
  • 2:08 - 2:13
    Porém, a orientação será em direção a esse ponto,
    ao longo da superfície, claro.
  • 2:13 - 2:18
    Vamos sair de um ponto na superfície
    e vamos até outro ponto,
  • 2:18 - 2:24
    em que basicamente esse vetor aqui será tangente
    à superfície nesse ponto de origem.
  • 2:24 - 2:29
    Eu vou desenhar isso um pouco maior aqui embaixo
    para que consigamos ter uma visualização um pouco melhor.
  • 2:29 - 2:33
    Então teremos o nosso ru
    se parecendo com isso aqui.
  • 2:33 - 2:37
    Não se esqueça, isso aqui é apenas uma aplicação
    do que desenhamos na superfície.
  • 2:38 - 2:43
    Agora, voltando ao ponto na superfície,
    também podemos acrescentar um pequeno valor ao v,
  • 2:43 - 2:45
    assim, vamos ir até esse ponto aqui.
  • 2:45 - 2:50
    Sendo assim, o nosso vetor posição r
    apontaria para esse ponto.
  • 2:50 - 2:54
    Sabendo disso, como o
    nosso rv vai se parecer?
  • 2:54 - 3:00
    Novamente, o módulo desse vetor vai depender
    da rapidez com a qual nos movimentamos até aqui,
  • 3:00 - 3:04
    porém, é a orientação que
    importa para nós agora.
  • 3:04 - 3:11
    A direção é tangente à superfície, vamos de um ponto
    na superfície até outro ponto à medida que alteramos o v.
  • 3:11 - 3:13
    Sendo assim, o rv vai se
    parecer com algo assim.
  • 3:13 - 3:19
    O ru e o rv não são necessariamente perpendiculares
    um em relação ao outro.
  • 3:19 - 3:24
    Na verdade, da forma como eu os desenhei,
    eles não são perpendiculares entre si.
  • 3:24 - 3:31
    Porém, ambos são tangentes ao plano, ambos os vetores
    estão nos dizendo qual é a tangente nesse ponto.
  • 3:31 - 3:37
    Ou seja, qual é a inclinação na direção u
    e qual é a inclinação na direção v.
  • 3:37 - 3:43
    Quando você tem dois vetores que são tangentes ao plano
    e eles não são o mesmo vetor,
  • 3:43 - 3:46
    eles estão especificando
    uma espécie de plano.
  • 3:46 - 3:50
    Inclusive, podemos imaginar que
    temos um plano desse jeito aqui.
  • 3:50 - 3:54
    Aí, se você realizar combinações lineares
    dessas duas coisas,
  • 3:54 - 3:58
    você vai obter um plano
    do qual ambos fazem parte.
  • 3:58 - 4:01
    Já fizemos isso em outro momento,
    mas vamos relembrar rapidinho.
  • 4:02 - 4:06
    O que acontece quando eu calculo
    o produto vetorial entre ru e rv?
  • 4:06 - 4:09
    Isso vai nos fornecer outro vetor, certo?
  • 4:09 - 4:14
    Isso vai nos fornecer um outro vetor que é perpendicular
    a ambos os vetores.
  • 4:14 - 4:19
    Ou seja, um vetor que é
    perpendicular os vetores ru e rv.
  • 4:19 - 4:21
    Assim, uma outra forma
    de se pensar nisso
  • 4:21 - 4:27
    é que esse plano que obtemos aqui
    é um plano tangente à superfície.
  • 4:27 - 4:35
    Assim, ao calcular o produto vetorial entre ru e rv,
    teremos um vetor que é perpendicular à essa superfície.
  • 4:35 - 4:41
    Com isso, teremos um vetor que é normal a esse plano,
    formado pelos vetores ru e rv.
  • 4:41 - 4:49
    Como esse plano formado por ru e rv é tangente à superfície
    e o vetor encontrado é normal a esse plano,
  • 4:49 - 4:57
    temos que o vetor encontrado através do produto vetorial
    entre ru e rv é perpendicular à superfície em si.
  • 4:57 - 5:00
    Pelo menos a esse ponto da
    superfície que estamos observando.
  • 5:00 - 5:05
    Então, esse vetor será um vetor normal
    à superfície no ponto em questão.
  • 5:05 - 5:08
    Eu não estou falando da unidade
    de medida do vetor normal
  • 5:09 - 5:13
    porque podemos ter vetores normais diferentes
    com módulos diferentes.
  • 5:13 - 5:16
    Por isso é importante dizer
    que esse é um vetor normal
  • 5:17 - 5:22
    e que o obtemos quando calculamos
    o produto vetorial entre ru e rv.
  • 5:22 - 5:29
    Olhe só que legal. Nós podemos pensar em qual direção
    ele está orientado utilizando uma regra muito interessante.
  • 5:29 - 5:35
    Podemos pegar a nossa mão direita e utilizar três dedos
    como referência para a orientação.
  • 5:35 - 5:39
    Temos inicialmente o nosso
    polegar aqui orientado para cima,
  • 5:39 - 5:43
    ele vai indicar a orientação
    de um dos vetores.
  • 5:43 - 5:46
    No caso, o primeiro vetor,
    que aqui é o ru.
  • 5:46 - 5:52
    Podemos também ter o nosso dedo indicador aqui,
    que vai apontar para a direção do segundo vetor,
  • 5:52 - 5:54
    que, em nosso caso, é o rv.
  • 5:54 - 6:00
    Por último, temos o dedo médio, que dobramos
    para ficar orientado para fora da palma da mão.
  • 6:00 - 6:08
    Esse dedo indicará a direção do vetor obtido
    através do produto vetorial entre o ru e o rv.
  • 6:08 - 6:11
    Meus outros dois dedos e a minha
    mão se parecem com isso aqui.
  • 6:11 - 6:15
    Eu sei que o meu desenho não está perfeito,
    mas é só para você ter uma ideia.
  • 6:15 - 6:19
    Enfim, em todo caso, eu estou
    dobrando esses outros dois dedos
  • 6:19 - 6:22
    porque eles não são
    relevantes para esse caso.
  • 6:22 - 6:25
    Isso que fizemos é conhecido
    como a regra da mão direita,
  • 6:25 - 6:31
    e isso nos fornece a direção do vetor normal
    à superfície em um ponto específico.
  • 6:31 - 6:37
    Agora, é importante saber também que, em um ponto,
    temos dois vetores que são normais à superfície.
  • 6:37 - 6:44
    Um vetor que é orientado para fora e outro vetor
    que é orientado para dentro da superfície.
  • 6:44 - 6:47
    Outra coisa importante
    também é que, até agora,
  • 6:47 - 6:51
    o que eu fiz foi apenas obter um
    vetor que é normal à superfície.
  • 6:51 - 6:55
    Porém, para encontrar um
    vetor normal que seja unitário,
  • 6:55 - 6:59
    é preciso normalizar esse vetor.
    E como fazemos isso?
  • 6:59 - 7:03
    Para fazer isso, precisamos
    dividir esse vetor pelo seu módulo.
  • 7:03 - 7:07
    Ou seja, o vetor normal que
    é uma função de u e v,
  • 7:07 - 7:13
    já que precisamos fornecer um valor para u
    e um valor para v para encontrar esse valor normal.
  • 7:13 - 7:17
    Então isso vai ser igual
    ao nosso produto vetorial
  • 7:17 - 7:21
    entre a parcial de r em relação ao u
    e a parcial de r em relação a v,
  • 7:22 - 7:24
    dividido pelo módulo da mesma coisa.
  • 7:25 - 7:31
    Ou seja, o módulo do produto vetorial entre ru e rv.
    E pronto, terminamos.
  • 7:31 - 7:35
    Construímos um vetor unitário
    normal a um ponto da superfície.
  • 7:35 - 7:38
    Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
    o que conversamos aqui
  • 7:38 - 7:43
    e, mais uma vez, eu quero deixar para você
    um grande abraço e até a próxima!
Titre:
Como construir um vetor normal unitário
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Langue de la vidéo:
Portuguese
Équipe:
Khan Academy
Projet :
Accessibility Brazil
Durée:
07:50

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