Como construir um vetor normal unitário

o Olá tudo bem com você Vamos começar

agora mais uma aula de matemática e

nessa aula vamos começar a conversar

sobre o teorema da divergência mas o que

é o teorema da divergência o teorema da

divergência realiza uma igualdade entre

um fluxo de uma superfície de um campo

vetorial e a integral tripla sobre a

região tridimensional delimitada pela

superfície do divergente do campo

vetorial ou seja vamos supor que a gente

tem um campo vetorial efe a integral

dupla sobre a superfície do produto

escalar entre o campo vetorial f e o

vetor normal da superfície que

representamos com ele chapéu de S =

integral tripla sobre a região R do

divergente DF de ver que representa o

diferencial de volume o que vamos

começar a fazer nesse vídeo é realizar a

demonstração deste teorema mas para isso

vamos assumir que estamos lidando como a

região sólida simples e isso significa

é normalmente Estamos pensando em uma

região que pode ser do tipo um do tipo 2

ou do tipo três já existem vídeos na

qual eu falei sobre o significado desses

tipos de regiões mas a maioria das

formas básicas acabam sendo uma dessas

regiões Ou seja é uma região sólida

simples por exemplo uma esfera um

cilindro se enquadra em um desses tipos

de regiões Mas e quando a região não for

de nenhum desses três tipos aí o ideal é

que você faça uma transformação fazendo

com que ela se torne uma região simples

mas enfim vamos supor aqui que estamos

lidando com uma região sólida simples

sabendo disso vamos assumir aqui que o

nosso campo vetorial F pode ser escrito

como pq é uma função de X Y Z vezes

chapéu mais que e também é uma função de

X Y Z XJ chapéu mais R que é outra

função de X Y Z vezes cai chapéu feito

isso vamos abrir cada um desses lados

aqui é bem Primeiro vamos pensar sobre o

f escalar n Vamos pensar um pouco sobre

isso o produto escalar entre FM é igual

a essa componente bem aqui vezes a

componente higiene mais essa componente

aqui vezes a componentes jdn mais essa

componente aqui vezes essa componente

Card n então podemos escrever isso como

P vezes entre parênteses o produto

escalar entre chapéu e n chapéu não

podemos esquecer e e chapéu vamos vetor

unitário ok a gente precisa deixar isso

bem claro aqui porque ao calcular o

produto escalar entre chapéu e ele

chapéu teremos apenas a componente I do

vetor normal n chapéu E aí vamos

multiplicar isso por P ou seja

basicamente vamos fazer o produto

escalar entre os módulos das componentes

de X aí somamos isso com o que vezes J

chapéu está lá com ele chapéu e

novamente fazendo pro o DJ chapéu com

ele chapéu teremos o produto escalar

entre os módulos das componentes J aí

isso mais R vezes chapéu escalar em

chapéu bem não costumamos ver dessa

forma mas podemos dizer que é razoável

pensar assim Afinal isso aqui será igual

a PV vezes o módulo da componente e do

vetor normal n e isso exatamente o que

queremos um produto escalar e o mesmo se

aplica a componente j&a componente Car a

você pode tentar definir o m chapéu como

sendo igual a m vezes chapéu mais n VJ

chapéu mais ó vezes que a chapéu ou algo

parecido e verá que isso funciona muito

bem enfim visto isso aqui agora como

podemos simplificar a expressão bem

Podemos reescrever o lado esquerdo como

a integral de superfície DF eu vou

escrever isso aqui várias vezes tá então

colocamos aqui é ficar lá DS que é igual

a integral de o cid-f escalar n chapéu

vezes o escalar esse Ou seja é igual a

integral dupla sobre a superfície de

tudo isso que eu escrevi aqui eu vou

reescrever rapidinho aqui novamente ok

aí a gente coloca tudo isso aqui entre

parênteses E aí no final coloca o DS

agora tudo isso pode ser reescrito com a

integral da superfície DP vezes o

produto escalar entre e chapéu e ele

chapéu DS mais a integral de superfície

de que vezes o produto escalar entre J

chapéu e ele chapéu DS mais a integral

de superfície Dr vezes o produto escalar

entre cá chapéu e n chapéu vezes o

escalar DS Observe que eu quebrei isso

aqui eu estava fazendo integral dessa

forma agora o que temos aqui é a soma

das integrais e tudo isso é o lado

esquerdo do teorema da divergência agora

vamos pensar sobre o lado direito Qual é

o divergente DF bem o o DF baseado nessa

expressão DF será igual a parcial de P

em relação a x mas a parcial de que em

relação à Y mas é parcial de hera em

relação a z sabendo disso essa integral

tripla que pode ser reescrita como a

integral tripla da parcial de P em

relação a x mais a parcial de que em

relação à Y mais a parcial de hera em

relação a z isso aqui de novo ao invés

de escrever com a mão integral tripla

dessa soma podemos escrever com uma soma

das integrais triplas então isso aqui

pode ser reescrito como a integral

tripla sobre nossa região tridimensional

da parcial de P em relação a x de ver

mais a integral tripla da parcial de que

em relação à ydv mais a integral tripla

da parcial de hera em relação a z de ver

e novamente falando o teorema da

divergência de que isso precisa ser é

isso aqui tô escrevendo mas essa

igualdade aqui em cima de uma forma

diferente sendo assim para provar que

essa igualdade a verdadeira temos que

mostrar que cada um desses termos

correspondentes são iguais entre si Ou

seja que esses dois aqui são iguais

entre si e esses aqui são iguais entre

si e que esses aqui são iguais entre si

o nosso objetivo é provar isso a Claro

nossa região R pode ser do tipo um do

tipo 2 o tipo três mas particularmente

vamos fazer isso aqui em uma região do

tipo um porém você pode utilizar o mesmo

argumento para regiões do tipo 2 e do

tipo 3 ou seja para que o teorema da

divergência Seja verdadeiro cada um

desses termos precisam ser iguais enfim

eu espero que você tenha compreendido

tudo direitinho e mais uma vez eu quero

deixar para você aqui Um grande abraço e

até a próxima