Como construir um vetor normal unitário

RKA22JL - Olá,
tudo bem com você?

Você vai assistir agora a mais
uma aula de matemática,

e, nessa aula, vamos construir
um vetor unitário normal a uma determinada superfície.

Mas, antes disso, é importante lembrar que
é muito comum, em diversas situações,

realizarmos o cálculo de
uma integral de superfície.

Essa integral corresponde ao fluxo
através de uma determinada superfície.

Sabendo disso, podemos observar essa superfície
e construir um vetor unitário normal a essa superfície.

Na verdade, podemos construir um vetor unitário normal
a qualquer ponto dessa superfície.

Para fazer isso, eu vou supor que nossa superfície
possa ser parametrizada pela função de posição do vetor r,

em que r é uma função
de dois parâmetros.

É uma função de u e uma função de v, ou seja,
tendo um valor u e um valor v,

podemos colocar nessa função, pois ela vai essencialmente
especificar um ponto nessa superfície bidimensional.

Uma coisa que posso falar é que essa superfície
pode ser curvada, ela não precisa ser plana.

Ou seja, ela pode existir
em um espaço tridimensional.

Com isso, um certo u e um certo v vão especificar
um dado ponto nessa superfície.

Agora, vamos pensar sobre como
as direções de r se parecem,

ou seja, o que é a parcial de r em relação a u,
e o que é a parcial de r em relação a v.

Para isso, vamos dizer que estamos em um
determinado ponto. Ou seja, estamos em um ponto uv.

Para um determinado uv, encontramos um vetor de posição
que nos leva a esse ponto na superfície.

Então, vamos dizer que
adicionamos a u um pequeno valor.

Ao adicionar um pequeno valor a u,
vamos obter um outro ponto da superfície.

Vamos dizer que esse
outro ponto na superfície é aqui.

Sendo assim, como esse
vetor ru vai se parecer?

O módulo dele vai depender da rapidez
com a qual essa pequena mudança ocorreu,

ou seja, o quão rápido nos
movimentamos em direção a esse ponto.

Porém, a orientação será em direção a esse ponto,
ao longo da superfície, claro.

Vamos sair de um ponto na superfície
e vamos até outro ponto,

em que basicamente esse vetor aqui será tangente
à superfície nesse ponto de origem.

Eu vou desenhar isso um pouco maior aqui embaixo
para que consigamos ter uma visualização um pouco melhor.

Então teremos o nosso ru
se parecendo com isso aqui.

Não se esqueça, isso aqui é apenas uma aplicação
do que desenhamos na superfície.

Agora, voltando ao ponto na superfície,
também podemos acrescentar um pequeno valor ao v,

assim, vamos ir até esse ponto aqui.

Sendo assim, o nosso vetor posição r
apontaria para esse ponto.

Sabendo disso, como o
nosso rv vai se parecer?

Novamente, o módulo desse vetor vai depender
da rapidez com a qual nos movimentamos até aqui,

porém, é a orientação que
importa para nós agora.

A direção é tangente à superfície, vamos de um ponto
na superfície até outro ponto à medida que alteramos o v.

Sendo assim, o rv vai se
parecer com algo assim.

O ru e o rv não são necessariamente perpendiculares
um em relação ao outro.

Na verdade, da forma como eu os desenhei,
eles não são perpendiculares entre si.

Porém, ambos são tangentes ao plano, ambos os vetores
estão nos dizendo qual é a tangente nesse ponto.

Ou seja, qual é a inclinação na direção u
e qual é a inclinação na direção v.

Quando você tem dois vetores que são tangentes ao plano
e eles não são o mesmo vetor,

eles estão especificando
uma espécie de plano.

Inclusive, podemos imaginar que
temos um plano desse jeito aqui.

Aí, se você realizar combinações lineares
dessas duas coisas,

você vai obter um plano
do qual ambos fazem parte.

Já fizemos isso em outro momento,
mas vamos relembrar rapidinho.

O que acontece quando eu calculo
o produto vetorial entre ru e rv?

Isso vai nos fornecer outro vetor, certo?

Isso vai nos fornecer um outro vetor que é perpendicular
a ambos os vetores.

Ou seja, um vetor que é
perpendicular os vetores ru e rv.

Assim, uma outra forma
de se pensar nisso

é que esse plano que obtemos aqui
é um plano tangente à superfície.

Assim, ao calcular o produto vetorial entre ru e rv,
teremos um vetor que é perpendicular à essa superfície.

Com isso, teremos um vetor que é normal a esse plano,
formado pelos vetores ru e rv.

Como esse plano formado por ru e rv é tangente à superfície
e o vetor encontrado é normal a esse plano,

temos que o vetor encontrado através do produto vetorial
entre ru e rv é perpendicular à superfície em si.

Pelo menos a esse ponto da
superfície que estamos observando.

Então, esse vetor será um vetor normal
à superfície no ponto em questão.

Eu não estou falando da unidade
de medida do vetor normal

porque podemos ter vetores normais diferentes
com módulos diferentes.

Por isso é importante dizer
que esse é um vetor normal

e que o obtemos quando calculamos
o produto vetorial entre ru e rv.

Olhe só que legal. Nós podemos pensar em qual direção
ele está orientado utilizando uma regra muito interessante.

Podemos pegar a nossa mão direita e utilizar três dedos
como referência para a orientação.

Temos inicialmente o nosso
polegar aqui orientado para cima,

ele vai indicar a orientação
de um dos vetores.

No caso, o primeiro vetor,
que aqui é o ru.

Podemos também ter o nosso dedo indicador aqui,
que vai apontar para a direção do segundo vetor,

que, em nosso caso, é o rv.

Por último, temos o dedo médio, que dobramos
para ficar orientado para fora da palma da mão.

Esse dedo indicará a direção do vetor obtido
através do produto vetorial entre o ru e o rv.

Meus outros dois dedos e a minha
mão se parecem com isso aqui.

Eu sei que o meu desenho não está perfeito,
mas é só para você ter uma ideia.

Enfim, em todo caso, eu estou
dobrando esses outros dois dedos

porque eles não são
relevantes para esse caso.

Isso que fizemos é conhecido
como a regra da mão direita,

e isso nos fornece a direção do vetor normal
à superfície em um ponto específico.

Agora, é importante saber também que, em um ponto,
temos dois vetores que são normais à superfície.

Um vetor que é orientado para fora e outro vetor
que é orientado para dentro da superfície.

Outra coisa importante
também é que, até agora,

o que eu fiz foi apenas obter um
vetor que é normal à superfície.

Porém, para encontrar um
vetor normal que seja unitário,

é preciso normalizar esse vetor.
E como fazemos isso?

Para fazer isso, precisamos
dividir esse vetor pelo seu módulo.

Ou seja, o vetor normal que
é uma função de u e v,

já que precisamos fornecer um valor para u
e um valor para v para encontrar esse valor normal.

Então isso vai ser igual
ao nosso produto vetorial

entre a parcial de r em relação ao u
e a parcial de r em relação a v,

dividido pelo módulo da mesma coisa.

Ou seja, o módulo do produto vetorial entre ru e rv.
E pronto, terminamos.

Construímos um vetor unitário
normal a um ponto da superfície.

Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que conversamos aqui

e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!