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RKA22JL - Olá,
tudo bem com você?
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Você vai assistir agora a mais
uma aula de matemática,
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e, nessa aula, vamos construir
um vetor unitário normal a uma determinada superfície.
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Mas, antes disso, é importante lembrar que
é muito comum, em diversas situações,
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realizarmos o cálculo de
uma integral de superfície.
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Essa integral corresponde ao fluxo
através de uma determinada superfície.
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Sabendo disso, podemos observar essa superfície
e construir um vetor unitário normal a essa superfície.
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Na verdade, podemos construir um vetor unitário normal
a qualquer ponto dessa superfície.
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Para fazer isso, eu vou supor que nossa superfície
possa ser parametrizada pela função de posição do vetor r,
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em que r é uma função
de dois parâmetros.
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É uma função de u e uma função de v, ou seja,
tendo um valor u e um valor v,
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podemos colocar nessa função, pois ela vai essencialmente
especificar um ponto nessa superfície bidimensional.
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Uma coisa que posso falar é que essa superfície
pode ser curvada, ela não precisa ser plana.
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Ou seja, ela pode existir
em um espaço tridimensional.
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Com isso, um certo u e um certo v vão especificar
um dado ponto nessa superfície.
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Agora, vamos pensar sobre como
as direções de r se parecem,
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ou seja, o que é a parcial de r em relação a u,
e o que é a parcial de r em relação a v.
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Para isso, vamos dizer que estamos em um
determinado ponto. Ou seja, estamos em um ponto uv.
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Para um determinado uv, encontramos um vetor de posição
que nos leva a esse ponto na superfície.
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Então, vamos dizer que
adicionamos a u um pequeno valor.
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Ao adicionar um pequeno valor a u,
vamos obter um outro ponto da superfície.
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Vamos dizer que esse
outro ponto na superfície é aqui.
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Sendo assim, como esse
vetor ru vai se parecer?
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O módulo dele vai depender da rapidez
com a qual essa pequena mudança ocorreu,
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ou seja, o quão rápido nos
movimentamos em direção a esse ponto.
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Porém, a orientação será em direção a esse ponto,
ao longo da superfície, claro.
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Vamos sair de um ponto na superfície
e vamos até outro ponto,
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em que basicamente esse vetor aqui será tangente
à superfície nesse ponto de origem.
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Eu vou desenhar isso um pouco maior aqui embaixo
para que consigamos ter uma visualização um pouco melhor.
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Então teremos o nosso ru
se parecendo com isso aqui.
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Não se esqueça, isso aqui é apenas uma aplicação
do que desenhamos na superfície.
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Agora, voltando ao ponto na superfície,
também podemos acrescentar um pequeno valor ao v,
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assim, vamos ir até esse ponto aqui.
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Sendo assim, o nosso vetor posição r
apontaria para esse ponto.
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Sabendo disso, como o
nosso rv vai se parecer?
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Novamente, o módulo desse vetor vai depender
da rapidez com a qual nos movimentamos até aqui,
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porém, é a orientação que
importa para nós agora.
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A direção é tangente à superfície, vamos de um ponto
na superfície até outro ponto à medida que alteramos o v.
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Sendo assim, o rv vai se
parecer com algo assim.
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O ru e o rv não são necessariamente perpendiculares
um em relação ao outro.
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Na verdade, da forma como eu os desenhei,
eles não são perpendiculares entre si.
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Porém, ambos são tangentes ao plano, ambos os vetores
estão nos dizendo qual é a tangente nesse ponto.
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Ou seja, qual é a inclinação na direção u
e qual é a inclinação na direção v.
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Quando você tem dois vetores que são tangentes ao plano
e eles não são o mesmo vetor,
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eles estão especificando
uma espécie de plano.
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Inclusive, podemos imaginar que
temos um plano desse jeito aqui.
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Aí, se você realizar combinações lineares
dessas duas coisas,
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você vai obter um plano
do qual ambos fazem parte.
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Já fizemos isso em outro momento,
mas vamos relembrar rapidinho.
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O que acontece quando eu calculo
o produto vetorial entre ru e rv?
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Isso vai nos fornecer outro vetor, certo?
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Isso vai nos fornecer um outro vetor que é perpendicular
a ambos os vetores.
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Ou seja, um vetor que é
perpendicular os vetores ru e rv.
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Assim, uma outra forma
de se pensar nisso
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é que esse plano que obtemos aqui
é um plano tangente à superfície.
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Assim, ao calcular o produto vetorial entre ru e rv,
teremos um vetor que é perpendicular à essa superfície.
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Com isso, teremos um vetor que é normal a esse plano,
formado pelos vetores ru e rv.
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Como esse plano formado por ru e rv é tangente à superfície
e o vetor encontrado é normal a esse plano,
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temos que o vetor encontrado através do produto vetorial
entre ru e rv é perpendicular à superfície em si.
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Pelo menos a esse ponto da
superfície que estamos observando.
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Então, esse vetor será um vetor normal
à superfície no ponto em questão.
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Eu não estou falando da unidade
de medida do vetor normal
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porque podemos ter vetores normais diferentes
com módulos diferentes.
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Por isso é importante dizer
que esse é um vetor normal
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e que o obtemos quando calculamos
o produto vetorial entre ru e rv.
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Olhe só que legal. Nós podemos pensar em qual direção
ele está orientado utilizando uma regra muito interessante.
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Podemos pegar a nossa mão direita e utilizar três dedos
como referência para a orientação.
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Temos inicialmente o nosso
polegar aqui orientado para cima,
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ele vai indicar a orientação
de um dos vetores.
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No caso, o primeiro vetor,
que aqui é o ru.
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Podemos também ter o nosso dedo indicador aqui,
que vai apontar para a direção do segundo vetor,
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que, em nosso caso, é o rv.
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Por último, temos o dedo médio, que dobramos
para ficar orientado para fora da palma da mão.
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Esse dedo indicará a direção do vetor obtido
através do produto vetorial entre o ru e o rv.
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Meus outros dois dedos e a minha
mão se parecem com isso aqui.
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Eu sei que o meu desenho não está perfeito,
mas é só para você ter uma ideia.
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Enfim, em todo caso, eu estou
dobrando esses outros dois dedos
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porque eles não são
relevantes para esse caso.
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Isso que fizemos é conhecido
como a regra da mão direita,
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e isso nos fornece a direção do vetor normal
à superfície em um ponto específico.
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Agora, é importante saber também que, em um ponto,
temos dois vetores que são normais à superfície.
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Um vetor que é orientado para fora e outro vetor
que é orientado para dentro da superfície.
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Outra coisa importante
também é que, até agora,
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o que eu fiz foi apenas obter um
vetor que é normal à superfície.
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Porém, para encontrar um
vetor normal que seja unitário,
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é preciso normalizar esse vetor.
E como fazemos isso?
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Para fazer isso, precisamos
dividir esse vetor pelo seu módulo.
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Ou seja, o vetor normal que
é uma função de u e v,
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já que precisamos fornecer um valor para u
e um valor para v para encontrar esse valor normal.
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Então isso vai ser igual
ao nosso produto vetorial
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entre a parcial de r em relação ao u
e a parcial de r em relação a v,
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dividido pelo módulo da mesma coisa.
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Ou seja, o módulo do produto vetorial entre ru e rv.
E pronto, terminamos.
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Construímos um vetor unitário
normal a um ponto da superfície.
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Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que conversamos aqui
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e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!