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← Derivatives of Sine and Cosine | MIT 18.01SC Single Variable Calculus, Fall 2010

Derivatives of Sine and Cosine

Instructor: Joel Lewis

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Sous-titres traduits à partir de Anglais Afficher la révision 1 créée 05/06/2011 par yao li.

  1. 嗨!欢迎回来
  2. 在上一讲,我们谈到求解三角函数的导数
  3. 特别是正弦函数和余弦函数。
  4. 那么,今天,让我们做一个实际的例子。
  5. 因此,这里有一个函数:h(x)=sinx+√3 cosx
  6. 我要你们找出x的值是多少
  7. 当h(x)的导数等于0的时候
  8. 那么,你们自己花点时间来做一下
  9. 暂停视频,然后回来,我们一起做一下
  10. 好吧,希望你们已经自己思考并试着解了这个问题
  11. 现在让我们看看如何做。
  12. 我们有函数h(x),它等于sinx+√3 cosx
  13. 我们想知道当它在什么情况下导数等于1
  14. 那么,为了回答这个问题,我们应该求出它的导数是多少
  15. 尝试并写下它的导数公式。
  16. 那么,在这里,这并难。如果想我们求h的导数
  17. h是两个函数的总和:sinx和√3 cosx
  18. 而且我们知道和的导数就等于导数的和
  19. 那么h'(x)=d(sinx)/dx+d(√3 cosx)/dx
  20. h'(x)=d(sinx)/dx+d(√3 cosx)/dx
  21. 那么,我们上次的课中讲到,sinx的导数就等于cosx
  22. 并且讲到,cosx 的导数就等于-sinx
  23. 在这里我们有一个常数乘,根据常数乘法则
  24. 只要把它提出来就可以了。那么这里等于cosx-√3 sinx
  25. 那么,这就是h',现在我们来解h’(x)=0的等式
  26. 我们想解出x的值,使cosx-√3 sinx=0
  27. cosx-√3 sinx=0
  28. 现在有几个不同的方法来解这个问题。
  29. 我认为我喜欢的方法是,把在一边加√3 sinx
  30. 然后我想找把x移到一遍,那么我会除以cosx
  31. 那么等到--在左边,剩下cosx,然后除以cosx
  32. 刚好等于1。而在右边得到√3 sinx/cosx
  33. 刚好等于√3tanx
  34. 或者,我可以把这个重写为tanx=1/√3
  35. 求这里的x,要么,你能记得
  36. 特殊三角函数值,知道这里x该等于什么值
  37. 或者你可以在这里应用反正切函数arc tan。
  38. 因此,在两种情况下,最简单的解是x=π/6
  39. 所以如果你喜欢,你可以画一个小直角三角形。
  40. - 如果如果x=π/6话 - 这边就等于1
  41. 这边就等于√3,在这直角三角中
  42. 这斜边就等于2,你会认识到这是一个
  43. 30度角,或π/6弧度。
  44. 但有一点要记住的是,tan x是一个周期函数
  45. 以π为周期,所以这不是唯一的答案,
  46. 但π/6是其中一个解,还有7π/6,π/6+2π
  47. 30π/6,π/6-π,-5π/6等
  48. 那么,这里实际上有无穷多解 -
  49. π/6 + π的任意倍数。
  50. 那么,我们就大功告成了!我也想提一提,
  51. 虽然有另一个方法解这个问题。既我们开始可以
  52. h(x)乘以这个表达式,如果你看h(x)--等于
  53. h(x)=sinx+√3 cosx
  54. 它接近你知道的三角恒等式
  55. 那么,我把它写的更像一些
  56. 我可以乘以2再除以2,我可以把h(x)改写为
  57. 1/2sinx+√3 cosx/2cosx
  58. 那么1/2等于cosπ/3
  59. √3 /2=sinπ/3
  60. 因此,我可以把这个重写为2(cosπ/3sinx+sinπ/3cosx)
  61. h(x)=2(cosπ/3sinx+sinπ/3cosx),这完全是
  62. 当你做sin时的加法公式
  63. 这是扩展公式,那么现在我们应用它
  64. 等到2sin(x+π/3)
  65. 到目前为止,我们还没有做任何微积分。我们刚刚做 -
  66. 所以在这个解决方案 - 我们的第一个解 - 我们先做了一些微积分
  67. 然后用一些代数和三角那么,到目前为止,我们只是做
  68. 一些代数和三角。现在,h(x)=0
  69. 意思是该函数的图形有一条水平切线。
  70. 那么你既可以应用法则或是定义来计算它的导数
  71. 或者你可以说:“哦,我们它的图形是什么样的。”
  72. 那么,我已经在这里画个图。
  73. - 这是y=2(sinx+π/3)的图形
  74. 它是y=sin x 图形往左移动π/3
  75. 然后你把它扩大2倍。那么,这点等于-π/3
  76. 这点等于2π/3
  77. 而我们感兴趣的点是
  78. 有一个水平切线的点 - 在那里导数为零
  79. 那么这里有一个这样的值,等于π/6
  80. 第二个是这样的值在这里,它也是这里最小的值
  81. 那么,这种情况发生在点x=7π/6
  82. π/6,因为,对函数sinx来说发生在π/2点
  83. 但我们我这整个往右移动了π/3.所以π/2-π/3=π/6
  84. π/2-π/3=π/6,在这对对于y=sinx来说
  85. 最小值发生在3π/2,但我们这里
  86. 我们把它往左π/3,等等,当然这里还有另外一个值
  87. 和另一个峰值等等
  88. 那么这是第二种方法,用这个可爱的三角恒等式来解
  89. 今天就到这里!