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← Graphing a Derivative Function | MIT 18.01SC Single Variable Calculus, Fall 2010

Graphing a Derivative Function

Instructor: Christine Breiner

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License: Creative Commons BY-NC-SA
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Sous-titres traduits à partir de Anglais Afficher la révision 1 créée 04/30/2011 par yao li.

  1. 欢迎回来
  2. 在今天的视频中,我们来
  3. 怎样从函数本身的图形推导导函数的图形
  4. 那么,我在这有一个函数,我叫它y=f(x)
  5. 这是y=f(x)的曲线图形
  6. 那么,我们来思考下函数f(x)
  7. 我不会给你们这个函数的等式
  8. 我只给你们这个图形
  9. 那么我现在想让你们做的是,这么说想让我们做的是
  10. 推导出f"(x)的曲线图形
  11. 这是我们的目的
  12. 那么首先我们要做的是 ,弄清楚对于f(x)我们知道些什么。
  13. 我提醒你们的是,当你考虑一个函数的导数的时候
  14. 记住,它的导数的输出 就是测量每个点切线的斜率
  15. 那是我们所寻找的
  16. 理解 这个图形上的每个x值对应的切线的斜率
  17. 那么考虑导数最简单的方法是,你找出
  18. 一些点,在这些点上它的切线的斜率等于零
  19. 因为只有在这些地方,
  20. 才可能改变导数的正负号
  21. 那么我们首先做做的是
  22. 确定在这曲线图性上那些点的切线斜率等于零
  23. 我想这里有两个很容易找到的地方
  24. 也就是(不管这x的值是多少)
  25. 这里的斜率等于0
  26. 它是一个水平的切线
  27. 不管这里x的值是多少,这里的斜率也等于零
  28. 水平切线
  29. 但是这还有第三个地方,它的切线斜率等于零
  30. 藏在这里
  31. 也许你觉得这里还有一些点(切线斜率等于零)
  32. 但是我们假设这个函数
  33. 在这个区域内连续下降
  34. 那么,有三个地方的切线斜率是平行的
  35. 我可以轻轻地把它们给画出来
  36. 有3条平行切线
  37. 那么,在这些点上我们知道它们的导数等于零
  38. 输出是0
  39. 现在,我们可以推导出的,在这里区域之间
  40. 导数的值在那里是正的,在那里是负的
  41. 我现在要做的是,在下面画一条线
  42. 然后标记导数的正负号
  43. 我画一条线,它将是我们f'的正负号
  44. 它会告诉我们在那里符号是什么
  45. 那么在下边,我们保持追踪(正负号)
  46. 这里,我直接对下来
  47. 在这里我们知道f'(x)的符号是0
  48. 我们知道它(导函数)在这里等于零
  49. 我们也知道它在这里也等于零
  50. 并且,我们也知道它在这里也等于零
  51. 现在问题是,f'(x)在这个区域内是什么符号
  52. 从这到左边,不管x值是多少
  53. f'(x)在这个区域的符号呢
  54. 在这个区域呢;然后从这道右边呢?
  55. 那么,我们可以把x的值分为以下:
  56. 从这到左边,不管x值是多少;
  57. 在这两个x值之间;
  58. 在这两个x值之间;
  59. 然后,从这个x往右边;
  60. 这是我们决定f'(x)的符号的之前需要做的
  61. 那么,再说一遍,我们必须明白的是
  62. f'(x)就是求解曲线y=f(x)的切线的斜率
  63. 那么,让 我们 在这个斜率等于零的左边区域内取一点 ,
  64. 就算这里,然后让我们来看看切线
  65. 这个切线的斜率是什么呢?一个正的斜率
  66. 事实上,如果你从这里看过去,你可以看到,所有的斜率都是正的
  67. 那么f'(x)在这个区域比0要大
  68. 现在,我在这里把它写下来
  69. 我把它记为正号,这里的符号是正的
  70. 现在,如果你看右边这f'(x)点
  71. 如果你看这个x值的右边
  72. 我发现,往右边去的话,这个切线的斜率是慢慢往下
  73. 让我用粉笔比一下
  74. 你可以看到这切线的斜率是负的
  75. 假如我画其中一点,它大概就像这样的
  76. 那么,这里的斜率是负的
  77. 那么我记下这里的f'(x)的记为负号
  78. 现在,来看看这两个x值之间
  79. 也就是这里(斜率)等于0,还有这里等于0
  80. 可以发现,我们注意到这里的符号仍然是负的
  81. 那么,事实上,f'(x)的符号在这里的f‘(x)=0时候改变了
  82. 而在这里的f‘(x)=0时候保持不变
  83. 那么它本来是负的,然后它继续保持负的
  84. 它是负的,然后0,然后还是负的
  85. 然后来看这个x值得右边,然后在上边取一点
  86. 我发现这里的切线的斜率是正的
  87. 也就是它的符号是正的
  88. 那么,这个导数先是正的
  89. 然后变0,然后是负的,然后变0
  90. 然后变负的,然后是0,然后是正的
  91. 这样继续下去
  92. 但是如果现在我想画y=f'(x)图形的话
  93. 我有一些出发点可以用
  94. 那么我能做的是,我知道哪里导数等于0
  95. 我将用蓝色的线来画这个导数
  96. 在这些地方,它导数等于0(它的输出等于0)
  97. 那么,我把这些点画出来
  98. 如果我只是想画一个粗略的图的话
  99. 在这个点的左边这个导数是正的
  100. 那么它一定是往下的(让我把它画深点)
  101. 它是往下的,因为它是正的
  102. 它一直往下0
  103. 它保持在x轴上面,但是它必须趋向于0
  104. 对吧?
  105. 那它实际上是什么样的呢
  106. 我们来看看这里的斜率
  107. 这些切线的斜率--当我在x轴方向上移动的时候
  108. 注意看我手的动作
  109. 这些斜率总是正的,但是它变得越来越不垂直
  110. 对吧,它渐渐趋向于平行
  111. 这里的斜率更陡峭,然后渐渐变得不那么陡峭
  112. 这个陡度才是这个导函数的值
  113. 才是真的衡量输出究竟离0有多远
  114. 随着导数变得不那么陡峭,
  115. 这个导函数的值
  116. 那么当导数在 这里等于零的时候怎么样
  117. 突然,斜率变成负的了
  118. 那么,导函数的输出变成负的
  119. 它一直往下
  120. 但是,当它到这里的时候,注意会怎么样
  121. 它的导函数又等于零了
  122. 注意我怎么到这里的
  123. 这导函数是负的,并且这些
  124. 切线的斜率变得更陡峭了
  125. 对吧?它们是陡峭的,然后到一个地方它们变得不那么陡峭了
  126. 那么x的值在这到这之间的某个地方
  127. 它的导数比较陡峭
  128. 然后变得不那么陡峭
  129. 最陡峭的地方就是
  130. f'(x)在这个区域之内的最大值
  131. 也就是里0最远的地方
  132. 那么,我猜测,它(最大值)可能在这个地方
  133. 它的切线在这个区域是最陡峭的
  134. 在这两个区间,它开始变得不那么陡峭
  135. 就说在这吧,这是它的能下的最低点
  136. 然后现在它回来往上
  137. 希望你们能明白
  138. 我们再来看看这里
  139. 在这两个0之间,发生同样的事情
  140. 但是注意,我们得小心的是
  141. 我们不能穿过0
  142. 因为导函数的输出--符号是负的,对吧?
  143. 那么切线--它的斜率是负的,负的,0
  144. 不对,它仍然是负的
  145. 那么输出仍然是负的
  146. 并且它们继续是负的,然后到0
  147. 我们注意的是,
  148. 在这个区域发生的事情也在这个区域发生
  149. 注意的点是,我们这里为零,这里也为零
  150. 那么在中间的某个地方,我们从零开始
  151. 切线变得越来越陡峭
  152. 然后在某一点,它们停止变陡峭
  153. 它们开始变得更平缓
  154. 这个点大概在这附近
  155. 这是最陡峭的切线
  156. 然后它变得不那么陡峭
  157. 那么,这这个区域在这个点上
  158. 导函数的绝对值最大
  159. 那么,我把它画的和这边一样
  160. 因为它们看起来是一样的陡度
  161. 那么我在这画一个几乎一样
  162. 因为它们的陡度几乎一样
  163. 那么它先往下,然后在这上来
  164. 比我想象的画得尖了点
  165. 那么就在这--x等于这个值的时候,
  166. 它的切线在这个区域内最陡峭
  167. 那么在x等于这个值得时候的得到的是最低低点
  168. 然后我们来看看这个0点的右边的导数
  169. 我们看到切线的斜率是正的
  170. 我已经讲过了
  171. 然后它变得更正的
  172. 那么,它开始时是0,然后变成正的
  173. 然后继续变正
  174. 它将变成这样,粗略的来说
  175. 让我把虚线连起来,这样我们看起来就比较清晰
  176. 这不是很精确,但是也够好了
  177. 画f'(x)--y=f'(x)-
  178. 现在让我问你们一个问题
  179. 我把它写在黑板上
  180. 然后我会给你们一点时间来考虑
  181. 好,让我写一下这个问题
  182. 找到一个函数g(x),以使y=g'(x)
  183. 看起来像y=f’(x)
  184. 好,让我来讲清楚下
  185. 然后给你们一点时间来考虑
  186. 我希望你们能找到一个函数g(x),使他的导函数的图像
  187. y=g'(x)和
  188. 这个我们画得图像一样(y=f’(x))
  189. 我不是要你们找出
  190. 什么x的平方呀立方的
  191. 我不是要你们找出一个确切的y等于什么x
  192. 我只要你们能找出它和f之间的关系
  193. 那么我给你们一点时间考虑一下
  194. 并且找出你们的答案
  195. 然后我回来告诉你
  196. 好,欢迎回来
  197. 我们来看看函数g(x)
  198. 那么它的导函数,当我画它的
  199. y=g'(x),我得到和这个
  200. 蓝色的一样的图形
  201. 重点是,如果你考虑了一下的话
  202. 你真的需要的是
  203. 和y=f(x)一样的方程
  204. 在x值上任何一点的斜率都一样
  205. 但是这些斜率可以在上面或是下面任何地方
  206. 那么重点是,如果我有y=f(x)
  207. 然后加上一个常数,它整个图形往上或是往下
  208. 但是他的切线却不会因此而受影响
  209. 当我画它的导函数图形的时候我得到了
  210. 一样的图形
  211. 当我看那个图形的切线斜率的时候
  212. 那么,你可以自己画下别的图形看看,
  213. 如果你不是很信服的话
  214. 把这个图形抬高
  215. 然后看看切线在那个图形会怎么样
  216. 你会发现它的导数输出会是一模一样的
  217. 那么我们今天就到这里