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← Rules of Logs | MIT 18.01SC Single Variable Calculus, Fall 2010

Rules of Logs

Instructor: Christine Breiner

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License: Creative Commons BY-NC-SA
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Sous-titres traduits à partir de Anglais Afficher la révision 2 créée 05/04/2011 par yao li.

  1. 欢迎回来
  2. 今天,我们来讲讲对数的一些公式,需要你们记住
  3. 我们将证明其中的一个
  4. 然后我会叫你们用这些公式来对一个函数求导
  5. 那么,让我们先来看看这些公式
  6. 当我讲这三个公式的时候我需要指出的是
  7. 这3个公式都写成自然对数的ln
  8. 但是你们也可以把它换成别的底数。只要那底数一直保持一致
  9. 用任何允许用的合理的底都可以,可以用一个正的底数
  10. 你可以用它代替自然对数的底
  11. 这第一个公式说,一个积的自然对数等于自然对数的和
  12. 那么ln(MN)=lnM+lnN
  13. 第二个公式说商的自然对数等于自然对数的差
  14. 那么ln(M/N)=lnM-lnN
  15. 第三个公式说,一个数的某次幂的自然对数
  16. 等于幂次数乘以这个数的自然对数
  17. 那么ln(M^K)=KlnM
  18. 这里我要指出的是,这里是截然不同的
  19. 如果这个幂在里面,可以用这个公式,
  20. 但是如果幂在括号外面的话,如果它是logM整个再某次幂的话
  21. 这个公式不能用,这个不等于上面写的这个
  22. 然后第四个是改变底数公式
  23. 如果我logbM。我想改变它的底
  24. 我就可以把它重写成以e为底
  25. lnM/lnb
  26. 我想指出人们常犯的一个错误是
  27. 他们对第二和第四个感到迷惑
  28. 因为它们两个是商
  29. 但是注意,第二个是商的自然对数
  30. 而第四个是自然对数的商
  31. 所以它们完全不同
  32. 并且希望你们注意到这两个表达式是不一样的表达式
  33. 那么现在我们来用我们对指数和对数函数的知识
  34. 来证明第一个公式
  35. 那么,让我们开始做吧
  36. 为了让这上面这有意思,我们知道M和N必须是正的
  37. 然后我可以找到(让我先写下来 我们将证明1)
  38. 那么当M,N都是正的时候,我可以找到些值,比如说a,b
  39. e^a=M,e^b=N.
  40. 让我把它们意思写写下来
  41. 因为指数和对数函数互为反函数
  42. 这意味着“a”=lnM,b=lnN
  43. 因此,这些都是等效的表达式。
  44. 这个表达和这个表达式是等价的...
  45. 这个表达和这个表达式是等价的。
  46. 所以,现在让我们使用这些信息来试着解决这个问题。
  47. 或者说尝试证明第一个表达式。
  48. 因此,ln(MN),等于什么?
  49. 答:M是e ^ a,N is e^b。因此,我可以这样写...
  50. ln(e^a* e^b)
  51. (e^a* e^b)等于什么?这里我们使用指数规则。
  52. (e^a* e^b)=e^(a + b)。
  53. 因此,这是ln(e^(a + b))
  54. 现在,重点是什么?
  55. 重点是,自然对数和指数函数是互为反函数。
  56. 也就是logeX=X
  57. 因此,ln(e^(a + b))就等于(a + b)
  58. 而且我已经告诉你们它们等于什么
  59. =lnM+lnN
  60. 注意我们已经做完了
  61. ln(MN)等于lnM+lnN
  62. 以此类推我们可以很快把第二个证明出来
  63. 下边的第三个也差不多
  64. 显然,这些都将还用到其他指数的公式
  65. 除了两个指数函数的乘积等于幂的和。
  66. 这将使用的其他一些公式。
  67. 而且我相信,这些其他的一些东西实际上也可能被证明
  68. 在后来的课程当中。
  69. 那么,你会看到这些,但我觉得你自己可能想尝试证明两三个
  70. 看看在这里如何利用这些同样规则 可能比较好的
  71. 所以现在我希望我们做的是,用这些规则,我想让我们求个导数
  72. 那么,我们看看y=平方根(x(x十4) )
  73. 我们假设x是大于零。
  74. 我希望你能求出y'
  75. 现在你可以用硬办法来做,曲曲折折的把它解出来。
  76. 但我你们您可以尝试使用微分技术来解出它的导数。
  77. 我给你做了一会儿,然后我会回来告诉你我是如何做。
  78. 好,欢迎回来。
  79. 我将使用用对数微分法和这边的这些公式来
  80. 对求导解出y‘
  81. 因此,首先我们要做的是对两边求导
  82. 然后我们使用的对数一些公式,以简化右边表达式。
  83. lny=ln平方根(x(x十4) )
  84. 平方根(哇,不好意思)平方根即什么的1 / 2幂,对不对?
  85. 这就是平方根意思。
  86. 你可以把这整个升到1 / 2幂。
  87. 所以我打算用公式三...
  88. 然后我把1 / 2幂,提到log的前面
  89. 因此,我可以改写为1 / 2log(这整个)
  90. 所以我得到1/2 ln(x(x+4))
  91. 那么现在我要用公式一把积的自然对数
  92. 变为自然对数的和
  93. 我可以把这个改写为1 / 2lnX+1 / 2ln(x十4)
  94. 这里我必须要做的是提取这个1/2,因为
  95. 我有一个项,然后我得到两个项相加
  96. 但是,两项都分配1 / 2。
  97. 所以现在我有这个漂亮的表达式。
  98. lny等于x 相关的表达式
  99. 现在我可以对两边求导。
  100. 记住,我想解出y’
  101. 那么这里有些隐性微分
  102. 因此,当我们求解时候我们要小心
  103. 如果我对这边求导并不得到y‘
  104. 我得到 y'/y
  105. 它是从哪里来的呢?
  106. 这个表达式的d/dx是自然对数的对y求导
  107. 然后乘以y的导数
  108. 你已经看到很多这样的啦,但只是为了保险
  109. 你明白这两边是怎么来的
  110. 因此,当我对这边求导得到 y'/y.
  111. 当我对这边对x求导,lnx的导数
  112. 等于1 / x,所以我得到1/2x
  113. 然后对ln (x+4)
  114. 如果我用链式法则得到1/(x+4) 乘以(x+4)的导数
  115. 等到1。
  116. 所以我得到1/2(x+4)
  117. 所以,现在我想解出y'
  118. 因此,为了要解y',我需要再写点
  119. 注意到y'等于y乘以这一整个
  120. 嗯,我知道y等于什么
  121. 我把y表达式写出来。
  122. y=平方根(x(x+4))*(1/2x+1/2(x+4))
  123. 这其实是写y'的其中一个方式
  124. 我可以把这两个分数合并成一个分数
  125. 然后试着把它化简得漂亮点,
  126. 或者我可以就到此为止。
  127. 这是技术上,一个求导。
  128. 如果我想尝试合并它,我可能会发现
  129. 这个导数还需要很多计算
  130. 因此,这是一个很好的
  131. 我可以了解怎样解除y的导数的捷径
  132. 那么,今天我们就到这里