1 00:00:00,000 --> 00:00:01,999 RKA22JL - Olá, tudo bem com você? 2 00:00:02,129 --> 00:00:05,146 Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática 3 00:00:05,219 --> 00:00:11,524 e, nessa aula, vamos resolver um exercício sobre o sinal da taxa de variação média de um polinômio. 4 00:00:11,572 --> 00:00:14,193 Então, vamos ver o que o exercício está falando. 5 00:00:14,243 --> 00:00:22,993 Nós temos inicialmente uma função h(x), que é igual a ⅛, vezes x ao cubo, menos x ao quadrado. 6 00:00:23,041 --> 00:00:29,692 Então é feito um questionamento sobre o intervalo dessa função que tem uma taxa de variação média positiva. 7 00:00:29,741 --> 00:00:33,969 Como sempre, faça uma pausa neste vídeo e tente fazer isso. 8 00:00:35,794 --> 00:00:38,867 Ok. Já tentou? Vamos fazer isso juntos agora? 9 00:00:38,919 --> 00:00:43,467 Para começar, vamos nos lembrar sobre o que é a taxa de variação média. 10 00:00:43,532 --> 00:00:47,022 Uma taxa de variação média pode ser vista como a variação 11 00:00:47,022 --> 00:00:53,229 que ocorre em uma função para uma dada variação na variável, que, em nosso caso, é o x. 12 00:00:53,307 --> 00:00:58,968 Ou seja, qual é a variação que ocorre em h para uma dada variação em x. 13 00:00:59,005 --> 00:01:01,640 Como nosso objetivo é descobrir o intervalo, 14 00:01:01,640 --> 00:01:05,969 podemos descobrir qual é a taxa de variação média fazendo o seguinte: 15 00:01:06,000 --> 00:01:11,047 No denominador, podemos colocar nosso x final menos o x inicial, 16 00:01:11,096 --> 00:01:19,396 e, no numerador, podemos calcular o valor da nossa função no x final, menos o valor da nossa função em nosso x inicial. 17 00:01:19,414 --> 00:01:25,872 Agora, uma coisa interessante é que a questão não está querendo calcular isso para todos os diferentes intervalos. 18 00:01:25,977 --> 00:01:34,122 Está sendo pedido aqui apenas o intervalo ou intervalos em que a nossa taxa de variação média é positiva. 19 00:01:34,173 --> 00:01:39,597 Se você olhar aqui, contando que o nosso x final seja maior que o x inicial, 20 00:01:39,704 --> 00:01:43,461 a fim de ter uma taxa de variação média positiva, 21 00:01:43,481 --> 00:01:49,398 nós só precisamos descobrir se h em x final é maior que h em x inicial. 22 00:01:49,473 --> 00:01:56,773 Se o valor da função no ponto final é maior que o valor da função no ponto inicial em um determinado intervalo, 23 00:01:56,827 --> 00:02:01,401 então teremos uma taxa de variação média positiva nesse intervalo. 24 00:02:01,473 --> 00:02:07,301 Sabendo disso, vamos avaliar cada uma das opções que temos nessas alternativas. 25 00:02:07,337 --> 00:02:12,602 Na letra A, temos x sendo maior ou igual a zero e menor ou igual a 2. 26 00:02:12,671 --> 00:02:18,575 Repare que em h(0), que é o nosso ponto inicial, nem precisamos calcular, afinal, 27 00:02:18,594 --> 00:02:25,649 já teremos isso sendo igual a zero, já que ⅛, vezes zero, menos zero é igual a zero. 28 00:02:25,702 --> 00:02:33,294 Agora em nosso ponto inicial, temos h(2), que, nesse caso, é igual a ⅛ vezes 2 à terceira potência, 29 00:02:33,443 --> 00:02:40,795 que é 8, portanto, temos ⅛, que é 1. Isso menos 2 ao quadrado, que é 4. 30 00:02:40,900 --> 00:02:44,918 Então, isso aqui vai ser 1 menos 4, que é igual a -3. 31 00:02:44,984 --> 00:02:50,271 Repare que não temos uma situação onde h no nosso ponto final é realmente maior. 32 00:02:50,310 --> 00:02:56,799 Sendo assim, temos uma situação de taxa de variação média negativa, então vou descartar essa opção. 33 00:02:56,863 --> 00:03:03,816 Para nos ajudar a visualizar isso, podemos representar essa taxa de variação média nesse gráfico ao lado, 34 00:03:03,869 --> 00:03:06,315 que é o gráfico de nossa função h. 35 00:03:06,364 --> 00:03:12,590 Podemos observar visualmente que realmente temos uma taxa de variação média negativa 36 00:03:12,646 --> 00:03:16,543 quando vamos de x igual a zero até x igual a 2. 37 00:03:16,593 --> 00:03:22,542 Em x igual a zero, a nossa função está aqui e em x igual a 2, a nossa função está aqui. 38 00:03:22,572 --> 00:03:28,323 Como você pode perceber, em x igual a 2, nossa função tem um valor inferior. 39 00:03:28,341 --> 00:03:33,451 Você também pode pensar na taxa de variação média como a inclinação da reta 40 00:03:33,451 --> 00:03:36,987 que conecta os dois pontos da função nesse intervalo. 41 00:03:37,133 --> 00:03:40,590 Repare que essa reta possui uma inclinação negativa, 42 00:03:40,602 --> 00:03:45,990 sendo assim, temos uma taxa de variação média negativa entre esses dois pontos. 43 00:03:46,072 --> 00:03:54,275 E entre esses dois? Nós já calculamos o h(0) e isso é igual a zero. E quanto é h(8)? 44 00:03:54,311 --> 00:03:59,741 Vamos ver aqui: ⅛ vezes 8 elevado a terceira potência é igual a quanto? 45 00:03:59,795 --> 00:04:06,694 Se eu fizer 8 à terceira potência e dividir por 8, teremos a mesma coisa que 8 elevado à segunda potência. 46 00:04:06,713 --> 00:04:12,684 Então, isso vai ser 64. Então, -8 elevado à segunda potência, que é 64. 47 00:04:12,684 --> 00:04:17,224 Logo, teremos aqui 64 menos 64, que é zero. 48 00:04:17,272 --> 00:04:23,376 Então, aqui, temos uma taxa de variação média igual a zero, já que o numerador vai ser zero, 49 00:04:23,426 --> 00:04:25,974 logo, podemos descartar essa opção também. 50 00:04:25,995 --> 00:04:30,802 Você pode ver isso aqui, quando o x é igual a zero, nossa função está aqui, 51 00:04:30,877 --> 00:04:34,149 quando o x é igual a 8, a nossa função está aqui. 52 00:04:34,251 --> 00:04:39,273 Repare que a reta que liga esses dois pontos possui uma inclinação igual a zero. 53 00:04:39,349 --> 00:04:44,749 Ou seja, temos uma taxa de variação média sendo igual a zero entre esses dois pontos. 54 00:04:44,806 --> 00:04:52,210 Agora, e a alternativa c? Vamos ver: h(6) vai ser igual a ⅛ vezes 6 elevado à terceira potência. 55 00:04:52,385 --> 00:04:57,576 6 vezes 6 é 36, e 36 vezes 6 é 216, 56 00:04:57,610 --> 00:05:04,930 então teremos aqui ⅛ vezes 216 menos 6 ao quadrado, que é 36. 57 00:05:04,981 --> 00:05:18,101 Como sabemos, 216 é igual a 6 vezes 36, então, teremos aqui seis oitavos de 36 ou ¾ de 36 e isso menos 36. 58 00:05:18,203 --> 00:05:25,677 ¾ de 36 é 27, assim, teremos 27 menos 36, que é igual a -9. 59 00:05:25,812 --> 00:05:28,639 Poderíamos ter feito isso com uma calculadora, 60 00:05:28,659 --> 00:05:33,611 mas é bom fazer isso para explorar outras formas de resolver expressões como essa. 61 00:05:33,629 --> 00:05:39,163 Então, eu espero que tudo aqui tenha feito sentido. Afinal, só fizemos um pouco de aritmética. 62 00:05:39,183 --> 00:05:48,462 Assim, em h(6), temos nossa função sendo -9 e, como já vimos antes, h(8) é igual a zero, 63 00:05:48,539 --> 00:05:54,736 portanto, nossa função nesse ponto final é superior ao valor da nossa função no ponto inicial. 64 00:05:54,788 --> 00:05:58,610 Sendo assim, temos uma taxa de variação média positiva. 65 00:05:58,610 --> 00:06:03,550 Logo, essa alternativa está correta. Podemos ver isso aqui visualmente, inclusive. 66 00:06:03,550 --> 00:06:10,494 Quando temos h(6), ou seja, quando x é igual a 6, o valor de nossa função é -9 67 00:06:10,494 --> 00:06:15,509 e quando x é igual a 8, o valor de nossa função é igual a zero. 68 00:06:15,578 --> 00:06:21,534 Assim, a reta que conecta esses dois pontos tem uma inclinação positiva. 69 00:06:21,546 --> 00:06:26,359 Portanto, temos uma taxa de variação média positiva durante esse intervalo. 70 00:06:26,391 --> 00:06:31,234 Já chegamos à alternativa correta, mas vamos verificar essa última aqui também. 71 00:06:31,234 --> 00:06:36,704 Já sabemos que h(0) é igual a zero e que h(6) é igual a -9. 72 00:06:36,781 --> 00:06:40,479 Portanto, temos aqui uma taxa de variação média negativa, 73 00:06:40,516 --> 00:06:44,532 porque no ponto final temos uma função menor que no ponto inicial, 74 00:06:44,559 --> 00:06:47,054 então podemos descartar essa alternativa. 75 00:06:47,073 --> 00:06:48,782 Você pode conferir isso aqui. 76 00:06:48,806 --> 00:06:55,478 Se formos de x igual a zero até x igual a 6, temos a nossa reta se parecendo com isso aqui. 77 00:06:55,519 --> 00:07:03,262 Perceba que a inclinação dessa reta é negativa, portanto, temos uma taxa de variação média negativa. 78 00:07:03,274 --> 00:07:06,580 Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui 79 00:07:06,592 --> 00:07:11,003 e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!