YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Russian subtitles

← Как задача о семи мостах Кёнигсберга изменила математику — Дан Ван дер Вирен

Get Embed Code
22 Languages

Showing Revision 15 created 11/03/2016 by Anna Kotova.

  1. Найти Кёнигсберг на современных картах
    вряд ли получится,

  2. но именно одна его
    картографическая особенность
  3. сделала город одним из самых
    известных в математике.
  4. Средневековый город располагался
    на обоих берегах реки Прегель.
  5. В центре города было два больших острова.
  6. Оба острова друг с другом
    и с берегами соединяли
  7. семь мостов.
  8. Карлу Готтлибу Элеру, математику, ставшему
    впоследствии главой близлежащего города,
  9. всё не давали покоя
    эти острова и их мосты.
  10. Он всё больше задавался вопросом:
  11. «Каким путём можно пройти все семь мостов,
  12. но ни по одному из них не пройти дважды?»
  13. Подумайте несколько секунд.
  14. [7]
  15. [6]
  16. [5]
  17. [4]
  18. [3]
  19. [2]
  20. [1]
  21. Сдаётесь?
  22. Наверное, сдаётесь.
  23. Да, это невозможно.
  24. Однако в попытке объяснить почему,
    знаменитый математик Леонард Эйлер
  25. изобрёл новое направление в математике.
  26. Карл написал Эйлеру письмо
    и попросил помочь с задачей.
  27. Эйлер вначале посчитал,
    что вопрос никак не связан с математикой.
  28. Но чем дольше он думал над решением,
  29. тем больше ему начинало казаться,
    что что-то тут не так.
  30. Он нашёл ответ, который лежит
    в плоскости геометрии,
  31. в ту пору ещё не существовавшей,
    которую он назвал позиционной геометрией
  32. и которая сейчас известна
    под названием теории графов.
  33. Первая мысль, осенившая Эйлера,

  34. была о том, что маршрут от входа на остров
    или перехода на берег и до выхода оттуда
  35. не имеет никакого значения.
  36. Поэтому карту можно упрощённо изобразить
    как совокупность четырёх частей города,
  37. каждая из которых
    представляет собой точку,
  38. которую мы сейчас называем вершиной,
  39. с линиями, или рёбрами, между ними,
    представленными мостами.
  40. Упрощённый граф позволяет нам легко
    сосчитать рёбра каждой вершины.
  41. Это число мостов,
    которые соединяют эту часть города.
  42. Но зачем нам рёбра?
  43. В соответствии с правилами задачи,
  44. если путешественники попадают
    в эту часть города по одному мосту,
  45. им надо выйти из неё через другой мост.
  46. То есть мосты, ведущие к вершине и от неё
    по любому маршруту,
  47. должны сочетаться в различных парах,
  48. это означает, что число мостов,
    соединяющих каждую из частей города,
  49. должно быть чётным.
  50. Единственными исключениями
    могут быть точки начала
  51. и конца маршрута.
  52. На нашем графе мы видим
    на четырёх вершинах нечётное число ребёр.
  53. Поэтому неважно, какой выбран путь,
  54. в определённой точке какой-то мост
    придётся пересекать дважды.
  55. Эйлер использовал это доказательство,
    чтобы сформулировать общую теорию,
  56. которая относится ко всем графам
    с двумя и более вершинами.
  57. Путь Эйлера, двигаясь по которому
    можно пройти по мостам только один раз,
  58. возможен в одном из двух случаев.
  59. Первый: когда есть ровно две вершины,
    имеющие нечётное число рёбер,
  60. а остальные должны иметь
    чётное число рёбер.
  61. В данном случае начинать двигаться надо
    с одной из нечётных вершин,
  62. а заканчивать — на второй вершине.
  63. Второй случай — это когда все вершины
    имеют чётное число рёбер.
  64. В таком случае путь Эйлера
    начнётся и закончится в одной точке,
  65. этот случай принято называть
    Эйлеровым циклом.
  66. Так как же создать
    Эйлеров путь в Кёнингсберге?
  67. Очень просто.
  68. Надо просто убрать один из мостов.
  69. И, похоже, история сама создала
    свой собственный Эйлеров путь.
  70. Во время Второй мировой войны
    советские ВВС уничтожили два моста,
  71. и путь Эйлера стал вполне возможен.
  72. Хотя, по правде говоря, в планы лётчиков
    решение задачи не входило.
  73. В результате бомбардировок Кёнигсберг
    был почти стёрт с лица земли,
  74. а затем город отстроили заново
    и назвали советским Калининградом.
  75. И хотя Кёнигсберга и его семи мостов
    больше не существует,
  76. он вошёл в историю благодаря задаче,
    которая только кажется простой,
  77. но именно её решение привело к появлению
    новой области математики.