YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Portuguese subtitles

← Como o problema das pontes de Königsberg mudou a matemática — Dan Van der Vieren

Get Embed Code
22 Languages

Showing Revision 4 created 09/07/2016 by António Ribeiro.

  1. Terão muita dificuldade em encontrar
    Königsberg em qualquer mapa moderno,

  2. mas uma certa peculiaridade
    na sua geografia
  3. tornou-a numa das cidades
    mais famosas da matemática.
  4. A cidade medieval germânica situava-se
    de ambos os lados do Rio Pregel.
  5. No centro havia duas grandes ilhas.
  6. As duas ilhas estavam ligadas
    uma à outra e às margens do rio
  7. por sete pontes.
  8. Carl Gottlieb Ehler, um matemático
  9. que veio a ser o prefeito
    duma cidade vizinha,
  10. começou a ficar obcecado
    com estas ilhas e pontes.
  11. Voltava sempre a uma única pergunta:
  12. Que caminho permitiria que uma pessoa
    atravessasse as sete pontes
  13. sem cruzar nenhuma delas
    mais do que uma vez?
  14. Pensem nisso por instantes.
  15. Desistem?
  16. É melhor.
  17. Não é possível.
  18. Mas a tentativa de explicar porquê,
  19. levou Leonhard Euler,
    o conhecido matemático,
  20. a inventar uma nova área da matemática.
  21. Carl escreveu a Euler, pedindo ajuda
    para o problema.
  22. A princípio, Euler achou que o problema
    não tinha nada a ver com a matemática.
  23. Mas quanto mais pensava nisso,
  24. mais lhe parecia que, afinal,
    podia haver ali qualquer coisa.
  25. A resposta que encontrou
    tinha a ver com um tipo de geometria
  26. que ainda não existia
    e a que ele chamou a Geometria de Posição,
  27. hoje conhecida por Teoria dos Grafos.
  28. A primeira conclusão de Euler
  29. foi que o caminho tomado entre a entrada
    de uma ilha ou de uma margem do rio
  30. e a sua saída não era importante.
  31. Portanto, o mapa podia ser simplificado
    representando por um simples ponto
  32. cada uma das quatro massas terrestres,
  33. aquilo a que hoje chamamos um nodo.
  34. As pontes seriam representadas
    por linhas, ou arestas, entre elas.
  35. Este grafo simplificado permite-nos
    contar facilmente os graus de cada nodo.
  36. É o número de pontes
    em que cada massa terrestre toca.
  37. Porque é que estes graus são importantes?
  38. Segundo as regras do problema,
  39. quando os viajantes chegassem
    a uma massa terrestre por uma ponte,
  40. teriam que sair de lá
    por uma ponte diferente.
  41. Por outras palavras, as pontes
    que chegavam a um nodo
  42. e as que dele saiam
  43. tinham que ocorrer em pares distintos,
  44. ou seja, o número de pontes que tocavam
    em cada massa terrestre visitada
  45. teria que ser par.
  46. As únicas exceções possíveis seriam
  47. a localização do início
    e a do fim da caminhada.
  48. Olhando para o grafo, verifica-se
  49. que todos os quatro nodos
    têm um grau ímpar.
  50. Assim, seja qual for o caminho escolhido,
  51. a certa altura, seria necessário
    cruzar duas vezes a mesma ponte.
  52. Euler usou esta prova
    para formular uma teoria geral
  53. que se aplica a todos os grafos
    com dois ou mais nodos.
  54. Um caminho euleriano
    que visita cada aresta apenas uma vez
  55. só é possível num de dois cenários.
  56. O primeiro é quando há exatamente
    dois nodos de grau ímpar,
  57. o que significa que todos os restantes
    são pares.
  58. Aí, o ponto de partida
    é um dos nodos ímpar
  59. e o ponto de chegada é o outro.
  60. O segundo é quando todos os nodos
    são de grau par.
  61. Aí, o caminho euleriano pode começar
    e terminar no mesmo local
  62. o que também lhe dá o nome
    de circuito euleriano.
  63. Então, como podíamos criar
    um caminho euleriano em Konigsberg?
  64. Muito simplesmente.
  65. Basta retirar qualquer uma das pontes.
  66. Acontece que a História criou
    um caminho euleriano, por si mesma.
  67. Durante a II Guerra Mundial,
  68. a Força Aérea Soviética destruiu
    duas das pontes da cidade,
  69. possibilitando um caminho euleriano.
  70. Mas, para ser franco, provavelmente
    a intenção deles não era essa.
  71. Esse bombardeamento quase varreu
    Konigsberg do mapa
  72. que foi posteriormente reconstruída
    como a cidade russa de Kaliningrado.
  73. Embora Konigsberg e as suas sete pontes
    talvez já não existam,
  74. serão recordadas na História
  75. por este quebra-cabeças
    aparentemente trivial
  76. que levou ao aparecimento
    de toda uma nova área da matemática.