Como o problema das pontes de Königsberg mudou a matemática - Dan Van der Vieren

Assista à aula na íntegra: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Seria difícil encontrar a cidade medieval Königsberg em um mapa moderno, mas uma particularidade em sua geografia a tornou uma das cidades mais famosas da matemática. Dan Van der Vieren explica como, ao quebrar a cabeça com as sete enigmáticas pontes de Königsberg, o famoso matemático Leonhard Euler acabou inventando um novo ramo da matemática.

Seria difícil encontrar Königsberg
em um mapa moderno,

mas uma particularidade em sua geografia

a tornou uma das mais famosas
cidades da matemática.

A cidade medieval alemã ocupava
as duas margens do rio Pregel.

No centro, ficavam duas grandes ilhas.

As conexões entre as duas ilhas
e as margens do rio

se davam através de sete pontes.

Carl Gottlieb Ehler, um matemático que
se tornaria prefeito numa cidade próxima,

ficou obcecado por essas ilhas e pontes.

Ele insistia em uma única questão:

qual caminho teria que ser feito
para se cruzar as sete pontes

sem passar por uma ponte
mais de uma vez?

Reflita por um momento.

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[4]

[3]

[2]

[1]

Desistiu?

Muito bem.

É impossível.

Mas a tentativa de explicar o porquê
levou o famoso matemático Leonhard Euler

a inventar um novo campo da matemática.

Carl pediu a Euler ajuda com o problema.

Euler a princípio pensou que a questão
não tinha relação com matemática.

Mas quanto mais ele pensava,

mais parecia haver algo ali
no fim das contas.

A solução que ele encontrou
tinha a ver com um tipo de geometria

que ainda não existia, a qual ele nomeou
"Geometria de Posição",

conhecida hoje como Teoria dos Grafos.

Euler concluiu primeiro

que o caminho percorrido dentro
de uma ilha ou margem específica

não importava.

Assim, o mapa podia ser simplificado
se cada porção de terra

fosse representada por um ponto,

o que nós hoje chamamos de vértice,

com linhas, ou arestas, entre eles
representando as pontes.

Esse grafo simplificado nos permite
contar os graus de cada vértice.

Esse é o número de pontes
que cada porção de terra possui.

Qual a importância dos graus?

Segundo as regras do desafio,

quando viajantes entrarem
numa porção de terra por uma ponte,

eles têm que sair dela por outra ponte.

Ou seja, as pontes que chegam
e que saem de cada vértice

devem ocorrer em pares,

o que significa que o número de pontes
em cada porção de terra visitada

deve ser par.

As únicas exceções seriam o começo

e o fim da caminhada.

Olhando para o grafo, fica evidente
que todos os vértices têm grau ímpar.

Não importa o caminho escolhido,

em algum momento, uma ponte
será cruzada duas vezes.

Euler usou essa prova
para formular uma teoria geral

que se aplica a todo grafo
com dois ou mais vértices.

Um caminho euleriano
que passa apenas uma vez por cada aresta

só é possível num dos seguintes cenários.

O primeiro é quando existem exatos
dois vértices de grau ímpar,

e todos os outros são pares.

Nesse caso, o ponto de partida
é um dos vértices ímpares,

e o final é o outro.

O segundo é quando
todos os vértices têm grau par.

Nesse caso, o caminho inicia
e termina no mesmo local,

configurando o que chamamos
de circuito euleriano.

Então, como um caminho euleriano
poderia ser criado em Königsberg?

É simples.

É só remover uma das pontes.

Curiosamente, a história criou
um caminho euleriano por conta própria.

Na 2ª Guerra Mundial, aviões soviéticos
destruíram duas das pontes da cidade,

fazendo surgir um caminho euleriano.

Embora essa provavelmente
não fosse sua intenção.

Os bombardeios praticamente
varreram Königsberg do mapa,

e a cidade foi reconstruída pela Rússia
sob o nome de Kaliningrado.

Mesmo que Königsberg e suas sete pontes
não estejam mais entre nós,

elas ficarão para sempre na história
por causa desse simples enigma

que deu origem a um ramo
da matemática inteiramente novo.