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← Como o problema das pontes de Königsberg mudou a matemática - Dan Van der Vieren

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Showing Revision 4 created 09/04/2016 by Leonardo Silva.

  1. Seria difícil encontrar Königsberg
    em um mapa moderno,

  2. mas uma particularidade em sua geografia
  3. a tornou uma das mais famosas
    cidades da matemática.
  4. A cidade medieval alemã ocupava
    as duas margens do rio Pregel.
  5. No centro, ficavam duas grandes ilhas.
  6. As conexões entre as duas ilhas
    e as margens do rio
  7. se davam através de sete pontes.
  8. Carl Gottlieb Ehler, um matemático que
    se tornaria prefeito numa cidade próxima,
  9. ficou obcecado por essas ilhas e pontes.
  10. Ele insistia em uma única questão:
  11. qual caminho teria que ser feito
    para se cruzar as sete pontes
  12. sem passar por uma ponte
    mais de uma vez?
  13. Reflita por um momento.
  14. [7]
  15. [6]
  16. [5]
  17. [4]
  18. [3]
  19. [2]
  20. [1]
  21. Desistiu?
  22. Muito bem.
  23. É impossível.
  24. Mas a tentativa de explicar o porquê
    levou o famoso matemático Leonhard Euler
  25. a inventar um novo campo da matemática.
  26. Carl pediu a Euler ajuda com o problema.
  27. Euler a princípio pensou que a questão
    não tinha relação com matemática.
  28. Mas quanto mais ele pensava,
  29. mais parecia haver algo ali
    no fim das contas.
  30. A solução que ele encontrou
    tinha a ver com um tipo de geometria
  31. que ainda não existia, a qual ele nomeou
    "Geometria de Posição",
  32. conhecida hoje como Teoria dos Grafos.
  33. Euler concluiu primeiro
  34. que o caminho percorrido dentro
    de uma ilha ou margem específica
  35. não importava.
  36. Assim, o mapa podia ser simplificado
    se cada porção de terra
  37. fosse representada por um ponto,
  38. o que nós hoje chamamos de vértice,
  39. com linhas, ou arestas, entre eles
    representando as pontes.
  40. Esse grafo simplificado nos permite
    contar os graus de cada vértice.
  41. Esse é o número de pontes
    que cada porção de terra possui.
  42. Qual a importância dos graus?
  43. Segundo as regras do desafio,
  44. quando viajantes entrarem
    numa porção de terra por uma ponte,
  45. eles têm que sair dela por outra ponte.
  46. Ou seja, as pontes que chegam
    e que saem de cada vértice
  47. devem ocorrer em pares,
  48. o que significa que o número de pontes
    em cada porção de terra visitada
  49. deve ser par.
  50. As únicas exceções seriam o começo
  51. e o fim da caminhada.
  52. Olhando para o grafo, fica evidente
    que todos os vértices têm grau ímpar.
  53. Não importa o caminho escolhido,
  54. em algum momento, uma ponte
    será cruzada duas vezes.
  55. Euler usou essa prova
    para formular uma teoria geral
  56. que se aplica a todo grafo
    com dois ou mais vértices.
  57. Um caminho euleriano
    que passa apenas uma vez por cada aresta
  58. só é possível num dos seguintes cenários.
  59. O primeiro é quando existem exatos
    dois vértices de grau ímpar,
  60. e todos os outros são pares.
  61. Nesse caso, o ponto de partida
    é um dos vértices ímpares,
  62. e o final é o outro.
  63. O segundo é quando
    todos os vértices têm grau par.
  64. Nesse caso, o caminho inicia
    e termina no mesmo local,
  65. configurando o que chamamos
    de circuito euleriano.
  66. Então, como um caminho euleriano
    poderia ser criado em Königsberg?
  67. É simples.
  68. É só remover uma das pontes.
  69. Curiosamente, a história criou
    um caminho euleriano por conta própria.
  70. Na 2ª Guerra Mundial, aviões soviéticos
    destruíram duas das pontes da cidade,
  71. fazendo surgir um caminho euleriano.
  72. Embora essa provavelmente
    não fosse sua intenção.
  73. Os bombardeios praticamente
    varreram Königsberg do mapa,
  74. e a cidade foi reconstruída pela Rússia
    sob o nome de Kaliningrado.
  75. Mesmo que Königsberg e suas sete pontes
    não estejam mais entre nós,
  76. elas ficarão para sempre na história
    por causa desse simples enigma
  77. que deu origem a um ramo
    da matemática inteiramente novo.