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Title:
Como o problema das pontes de Königsberg mudou a matemática - Dan Van der Vieren
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Description:
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Seria difícil encontrar Königsberg
em um mapa moderno,
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mas uma particularidade em sua geografia
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a tornou uma das mais famosas
cidades da matemática.
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A cidade medieval alemã ocupava
as duas margens do rio Pregel.
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No centro, ficavam duas grandes ilhas.
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As conexões entre as duas ilhas
e as margens do rio
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se davam através de sete pontes.
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Carl Gottlieb Ehler, um matemático que
se tornaria prefeito numa cidade próxima,
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ficou obcecado por essas ilhas e pontes.
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Ele insistia em uma única questão:
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qual caminho teria que ser feito
para se cruzar as sete pontes
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sem passar por uma ponte
mais de uma vez?
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Reflita por um momento.
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[6]
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[5]
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[4]
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[3]
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[2]
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[1]
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Desistiu?
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Muito bem.
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É impossível.
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Mas a tentativa de explicar o porquê
levou o famoso matemático Leonhard Euler
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a inventar um novo campo da matemática.
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Carl pediu a Euler ajuda com o problema.
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Euler a princípio pensou que a questão
não tinha relação com matemática.
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Mas quanto mais ele pensava,
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mais parecia haver algo ali
no fim das contas.
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A solução que ele encontrou
tinha a ver com um tipo de geometria
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que ainda não existia, a qual ele nomeou
"Geometria de Posição",
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conhecida hoje como Teoria dos Grafos.
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Euler concluiu primeiro
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que o caminho percorrido dentro
de uma ilha ou margem específica
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não importava.
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Assim, o mapa podia ser simplificado
se cada porção de terra
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fosse representada por um ponto,
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o que nós hoje chamamos de vértice,
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com linhas, ou arestas, entre eles
representando as pontes.
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Esse grafo simplificado nos permite
contar os graus de cada vértice.
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Esse é o número de pontes
que cada porção de terra possui.
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Qual a importância dos graus?
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Segundo as regras do desafio,
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quando viajantes entrarem
numa porção de terra por uma ponte,
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eles têm que sair dela por outra ponte.
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Ou seja, as pontes que chegam
e que saem de cada vértice
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devem ocorrer em pares,
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o que significa que o número de pontes
em cada porção de terra visitada
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deve ser par.
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As únicas exceções seriam o começo
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e o fim da caminhada.
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Olhando para o grafo, fica evidente
que todos os vértices têm grau ímpar.
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Não importa o caminho escolhido,
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em algum momento, uma ponte
será cruzada duas vezes.
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Euler usou essa prova
para formular uma teoria geral
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que se aplica a todo grafo
com dois ou mais vértices.
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Um caminho euleriano
que passa apenas uma vez por cada aresta
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só é possível num dos seguintes cenários.
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O primeiro é quando existem exatos
dois vértices de grau ímpar,
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e todos os outros são pares.
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Nesse caso, o ponto de partida
é um dos vértices ímpares,
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e o final é o outro.
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O segundo é quando
todos os vértices têm grau par.
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Nesse caso, o caminho inicia
e termina no mesmo local,
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configurando o que chamamos
de circuito euleriano.
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Então, como um caminho euleriano
poderia ser criado em Königsberg?
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É simples.
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É só remover uma das pontes.
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Curiosamente, a história criou
um caminho euleriano por conta própria.
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Na 2ª Guerra Mundial, aviões soviéticos
destruíram duas das pontes da cidade,
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fazendo surgir um caminho euleriano.
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Embora essa provavelmente
não fosse sua intenção.
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Os bombardeios praticamente
varreram Königsberg do mapa,
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e a cidade foi reconstruída pela Rússia
sob o nome de Kaliningrado.
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Mesmo que Königsberg e suas sete pontes
não estejam mais entre nós,
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elas ficarão para sempre na história
por causa desse simples enigma
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que deu origem a um ramo
da matemática inteiramente novo.