YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Hungarian subtitles

← A königsbergi hidak problémája – a gráfelmélet születése – Dan Van der Vieren

Get Embed Code
22 Languages

Showing Revision 7 created 10/01/2016 by Csaba Lóki.

  1. Hiába is keresnénk Königsberget
    egy mai térképen,

  2. különös földrajzi helyzete folytán
  3. mégis az egyik leghíresebb
    várossá vált a matematikában.
  4. A középkori német város
    a Pregel folyó két partján terült el.

  5. Közepén volt két nagy sziget.
  6. A két szigetet egymással és a partokkal
  7. hét híd kötötte össze.
  8. Carl Gottlieb Ehler matematikus,
    egy közeli város későbbi polgármestere
  9. e szigeteknek és hidaknak
    megszállottjává vált.
  10. Folyton ugyanahhoz
    a kérdéshez kanyarodott vissza:
  11. Melyik az az út, amely mentén
    átmehetünk minden hídon,
  12. de mindegyiken csak egyszer?
  13. Gondolkodjunk csak egy pillanatig.
  14. 7
  15. 6
  16. 5
  17. 4
  18. 3
  19. 2
  20. 1
  21. Feladják?
  22. Fel kéne.
  23. Nincs ilyen.
  24. Leonhard Euler, a neves matematikus,
    amikor megpróbálta ezt megmagyarázni,
  25. a matematika egy új területét hozta létre.
  26. Carl írt Eulernek, hogy segítsen
    megoldani a problémát.
  27. Euler először elhessentette a kérdést,
    mint aminek semmi köze a matematikához.
  28. de minél többet nyűglődött rajta,
  29. annál inkább úgy tűnt,
    hogy talán mégis lenne valami köze.
  30. A válasz, amit talált, a geometriának
    olyan ágához köthető,
  31. ami ekkor még nem igazán létezett,
    és amit ő a helyek geometriájának hívott,
  32. ma pedig gráfelmélet néven ismert.
  33. Euler első meglátása az volt,

  34. hogy nem számít, hogy a szigeteken
    és a partokon
  35. milyen úton megyünk.
  36. Így a térkép leegyszerűsíthető oly módon,
    hogy a négy földdarabot
  37. egy-egy pont reprezentálja –
  38. ezeket csúcsoknak nevezzük –,
  39. a hidakat pedig vonalaknak vagy éleknek,
    amelyek összekötik a pontokat.
  40. E leegyszerűsített ábra lehetővé teszi,
    hogy megszámoljuk minden csúcs fokszámát.
  41. Ez a szám az adott szárazföldet
    érintő hidak száma.
  42. Miért érdekes a fokszám?
  43. A séta szabályai szerint
  44. ha egyszer az utazó megérkezik
    a szárazföldre az egyik hídon,
  45. akkor egy másikon keresztül
    kell onnan távoznia.
  46. Vagyis az egy csúcsba
    be- és onnan kifutó hidak
  47. egyértelműen megfeleltethetők egymásnak,
  48. ami azt jelenti, hogy minden földdarabot
  49. páros számú hídnak kell érintenie.
  50. Kivétel ez alól csak
  51. a séta kezdő- és végpontja lehet.
  52. Ha ránézünk a gráfra, rögtön látszik,
    hogy mind a négy csúcs fokszáma páratlan.
  53. Bármelyik utat is választjuk tehát,
  54. valamelyik pontnál az egyik hidat
    kétszer kell használjuk.
  55. Euler ezt a bizonyítást használta
    egy általános tétel megfogalmazására,
  56. amely igaz minden olyan gráfra,
    amelynek legalább két csúcsa van.
  57. Az Euler-vonal, amely minden élt
    csak egyszer használ,
  58. csupán az alábbi két eset
    valamelyikében lehetséges:
  59. Az első, amikor pontosan két olyan
    csúcs van, melyeknek a fokszáma páratlan,
  60. azaz az összes többié páros.
  61. Ilyenkor a kezdőpont
    az egyik páratlan fokszámú csúcs,
  62. a végpont pedig a másik.
  63. A másik eset, amikor minden csúcs
    fokszáma páros.
  64. Ilyenkor az Euler-vonal
    kezdő- és végpontja megegyezik,
  65. ezt Euler-körnek is nevezik.
  66. Tehát hogyan tudnánk létrehozni
    egy Euler-vonalat Königsbergben?
  67. Egyszerűen.
  68. Hagyjunk el egy hidat.
  69. A történelem megcsinálta
    a maga Euler-vonalát.
  70. A 2. világháború alatt a szovjet légierő
    a város két hídját megsemmisítette,
  71. ezzel az Euler-vonalat könnyen
    megrajzolhatóvá tette.
  72. Az igazsághoz tartozik,
    hogy valószínűleg nem ez volt a céljuk.

  73. Ezek a bombák jócskán letörölték
    Königsberget a térképről.
  74. hogy azután orosz városként
    épüljön újjá, Kalinyingrád néven.
  75. Így, bár Königsberget és hét hídját
    már nem lehet körbejárni,
  76. mindenkorra emlékezetes marad
    e látszólag egyszerű rejtvény révén,
  77. amely a matematika egy új ágának
    felbukkanásához vezetett.