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← Comment les ponts de Königsberg ont changé les mathématiques - Dan Van der Vieren

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Showing Revision 20 created 10/20/2016 by Elisabeth Buffard.

  1. Vous aurez beaucoup de mal à trouver
    Königsberg sur une carte moderne
  2. mais une particularité géographique
  3. a fait d'elle l'une des villes
    les plus célèbres des mathématiques.
  4. Cette ville médiévale allemande
    était traversée par la rivière Pregel.
  5. En son centre, il y avait
    deux grandes îles.
  6. Ces deux îles étaient reliées
    entre elles et aux berges
  7. par sept ponts.
  8. Carl Gottlieb Ehler, un mathématicien
    devenu ensuite maire d'une ville proche,
  9. en fit son idée fixe.
  10. Il en revenait toujours
    à la même question :
  11. quel trajet permettrait à quelqu'un
    de traverser l'ensemble des sept ponts
  12. en ne les franchissant chacun
    qu'une seule fois ?
  13. Réfléchissez-y un instant.
  14. 7
  15. 6
  16. 5
  17. 4
  18. 3
  19. 2
  20. 1
  21. Vous jetez l'éponge ?
  22. Vous devriez.
  23. C'est impossible.
  24. En tentant d'expliquer pourquoi,
    le célèbre mathématicien Leonhard Euler
  25. inventa une nouvelle branche
    des mathématiques.
  26. Carl écrivit à Euler
    pour lui demander son aide.
  27. Dans un premier temps,
  28. Euler écarta le problème,
    qui ne concernait pas les maths.
  29. Mais plus il s'interrogeait,
  30. plus il lui semblait que finalement,
    il y avait là quelquechose.
  31. Il trouva la réponse
    grâce à une branche de la géométrie
  32. qui n'existait pas encore
    et qu'il nomma Géométrie de position,
  33. désormais connue comme
    la Théorie des graphes.
  34. La première idée d'Euler
  35. était que le trajet emprunté pour entrer
    sur une île ou une berge et la quitter
  36. n'avait pas vraiment d'importance.
  37. Donc, la carte pouvait être simplifiée
    en représentant les quatre zones de terre

  38. par un simple point,
  39. que nous appellerons nœud,
  40. reliés par des lignes ou des arcs
    représentant les ponts.
  41. Ce graphe simplifié nous permet de compter
    facilement les degrés de chaque nœud.
  42. C'est-à-dire le nombre de ponts
    partant de chaque rive.
  43. Pourquoi les degrés sont-ils importants ?
  44. Selon les règles du défi,
  45. une fois arrivé sur la terre par un pont,
  46. le voyageur doit en repartir
    par un autre pont.
  47. Autrement dit, les ponts menant
    d'un nœud à un autre
  48. doivent, pour chaque parcours,
    aller par paire,
  49. ce qui signifie que le nombre de ponts
    menant aux différentes berges visitées
  50. doit être pair.
  51. Les seules exceptions possibles
    seraient le point de départ
  52. et d'arrivée du trajet.
  53. Sur le graphe, on voit que
    les quatre nœuds ont un degré impair.
  54. Du coup, peu importe le trajet choisi,
  55. à un moment ou à un autre, l'un des ponts
    devra être traversé deux fois.
  56. Euler mit cette preuve à profit
    pour formuler une théorie générale
  57. s'appliquant à tous les graphes
    comportant au moins deux nœuds.
  58. Un chemin eulérien ne passant
    qu'une fois par chaque sommet
  59. n'est possible
    que dans un cas sur deux.
  60. Dans le premier, il y a exactement
    deux nœuds de degré impair,
  61. tous les autres étant donc pairs.
  62. Dans ce cas là, le point de départ
    est l'un des nœuds impairs
  63. et l'autre, le point d'arrivée.
  64. Dans le deuxième cas, tous les nœuds
    sont de degré pair.
  65. Le chemin eulérien commence
    et s'achève alors au même point ;
  66. de fait, on le nomme également
    cycle eulérien.
  67. Du coup, comment créer
    un chemin eulérien à Königsberg ?
  68. C'est simple.
  69. Il suffit de supprimer l'un des ponts.
  70. Et il s'avère que l'Histoire
    en a elle-même créé un.
  71. Pendant la seconde guerre mondiale,
    les forces aériennes soviétiques
  72. ont détruit deux des ponts de la ville,
    ouvrant la voie à un chemin eulérien.
  73. Mais, pour être honnête, ce n'était
    sans doute pas intentionnel.
  74. Ces bombardement ont pratiquement
    rayé Königsberg de la carte.
  75. Elle fut ensuite reconstruite pour devenir
    la ville russe de Kaliningrad.
  76. Königsberg et ses sept ponts
    ne sont peut-être plus aujourd'hui,
  77. mais ils resteront dans l'Histoire
    comme l'énigme en apparence triviale
  78. à l'origine d'une branche complètement
    nouvelle des mathématiques.