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← Cómo el problema de los puentes de Königsberg cambió las matemáticas - Dan Var der Vieren

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Showing Revision 5 created 09/08/2016 by Sebastian Betti.

  1. Lo pasarás mal si buscas Köningsberg
    en un mapa moderno.

  2. Pero un rasgo particular de su geografía
  3. la hizo una de las ciudades
    más famosas en matemáticas.
  4. Esta ciudad alemana medieval descansaba
    en ambos lados del río Pregel.
  5. En el centro tenía dos grandes islas.
  6. Ambas estaban conectadas entre sí
    y hacia las orillas del río
  7. por siete puentes.
  8. Carl Gottlieb Ehler, matemático devenido
    en alcalde de un pueblo cercano,
  9. se obsesionó con esas islas y puentes.
  10. Seguía repitiéndose una sola pregunta:
  11. ¿Qué ruta le permitiría a alguien
    cruzar los siete puentes
  12. atravesando cada uno una sola vez?
  13. Piénsalo por un momento.
  14. 7
  15. 6
  16. 5
  17. 4
  18. 3
  19. 2
  20. 1
  21. ¿Te rindes?
  22. Deberías.
  23. Es imposible.
  24. Al intentar explicar por qué
    el célebre matemático Leonhard Euler
  25. creó un nuevo campo en las matemáticas.
  26. Carl le escribió a Euler pidiendo
    ayuda con el problema.
  27. Euler primero ignoró la pregunta al
    no tener nada que ver con las matemáticas.
  28. Pero entre más enfrentaba el problema
  29. más le parecía que podría haber algo
    allí después de todo.
  30. La respuesta con la que lo resolvió
    tenía que ver con un tipo de geometría
  31. que no existía aún, la llamó
    la Geometría de la Posición,
  32. ahora conocida como Teoría de Grafos.
  33. La primera percepción de Euler
  34. fue que el camino que se tomaba
    para entrar a una isla y salir de ella
  35. no importaba realmente.
  36. Así, el mapa podía ser simplificado
    con cada una de las 4 masas de tierra
  37. representadas con un punto,
  38. es lo que ahora llamamos nodo,
  39. y líneas, o arcos, entre ellos
    para representar los puentes.
  40. Este grafo simplificado nos permite
    fácilmente contar el grado de cada nodo.
  41. O sea la cantidad de puentes
    que toca cada masa de tierra.
  42. ¿Por qué importan los grados?
  43. Bien, según las reglas del desafío,
  44. una vez que los viajeros lleguen
    a tierra por un puente,
  45. tendrán que salir de la misma
    por otro puente.
  46. O sea, los puentes que conducen desde
    y hacia cada nodo en cualquier ruta
  47. deben pasar en distintos pares,
  48. es decir que la cantidad de puentes
    que toca cada masa de tierra visitada
  49. debe ser par.
  50. Las únicas posibles excepciones
    podrían ser al principio
  51. y al final del paseo.
  52. Viendo el grafo, se observa que
    los cuatro nodos tienen grados impares.
  53. Así que en cualquier camino que se tome,
  54. en un punto, habrá que cruzar
    un puente dos veces.
  55. Euler usó esta prueba para formular
    una teoría general
  56. que se aplica a todos los grafos
    que dos o más nodos.
  57. Un camino euleriano que visita
    cada arco solo una vez
  58. solo es posible en uno de dos escenarios.
  59. El primero es cuando hay exactamente
    dos nodos de grado impar
  60. lo que significa que los demás son pares.
  61. Así, el punto de partida
    es uno de los nodos impares,
  62. y el punto de llegada es el otro.
  63. El segundo escenario es cuando
    todos los nodos son de grado par.
  64. Entonces, el camino euleriano empezará
    y terminará en el mismo lugar,
  65. lo que crea algo conocido
    como ciclo euleriano.
  66. Entonces ¿cómo crearías un camino
    euleriano en Königsberg?
  67. Es muy simple.
  68. Solo quitamos cualquier puente.
  69. Resulta que la historia creó
    un camino euleriano por sí misma.
  70. En la 2da Guerra Mundial, los soviéticos
    destruyeron dos puentes de la ciudad,
  71. haciendo posible un camino euleriano.
  72. Aunque, para ser justos, esa no era
    probablemente su intención.
  73. Estos bombardeos casi borraron
    Königsberg del mapa,
  74. y luego fue reconstruida como
    la ciudad rusa de Kaliningrado.
  75. Aunque Königsberg y sus siete puentes
    ya no estén con nosotros,
  76. serán recordados en la historia
    por el acertijo aparentemente trivial
  77. que llevo a la creación de un campo
    totalmente nuevo en las matemáticas.