Wie die Königsberger Bücken die Mathematik revolutionierten - Dan van der Vieren

Die ganze Lektion unter: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Heute findet man die Stadt Königsberg nicht mehr auf der Karte, aber eine besondere Eigenheit in ihrer geografischen Struktur machte sie zu einer der bekanntesten Städte in der Mathematik. Dan van der Vieren erklärt, wie den bekannten Mathematiker Leonhard Euler das Ringen mit den sieben rätselhaften Königsberger Brücken zur Entdeckung eines neuen Gebiets der Mathematik führte.

Lektion von Dan van der Vieren, Animation von Artrake Studio.

Heute findet man die Stadt Königsberg
nicht mehr auf der Karte,

aber eine besondere Eigenheit
in ihrer geografischen Struktur

machte sie zu einer der bekanntesten
Städte in der Mathematik.

Die mittelalterliche deutsche Stadt
lag auf beiden Seiten des Pregel.

Im Stadtzentrum gab es zwei große Inseln.

Diese zwei Inseln waren miteinander
und mit den Flussufern

durch sieben Brücken verbunden.

Der Mathematiker Carl Gottlieb Ehler,

der später Bürgermeister
einer benachbarten Stadt wurde,

war von diesen Inseln
und Brücken fasziniert.

Er stellte sich immer wieder
eine einzige Frage:

Welche Strecke muss man gehen,
um alle 7 Brücken zu überqueren,

ohne auch nur eine davon
mehr als einmal zu überqueren?

Denke einen Moment darüber nach.

7

6

5

4

3

2

1

Du gibst auf?

Das solltest du auch.

Denn es ist nicht möglich.

Aber mit den Erklärungsversuchen entdeckte
der berühmte Mathematiker Leonhard Euler

ein neues Gebiet der Mathematik.

Ehler schrieb an Euler
und bat ihn um Hilfe.

Euler lehnte die Frage zunächst ab,
da sie nichts mit Mathematik zu tun hatte.

Aber umso mehr er mit der Frage rang,

umso mehr schien es, dass da
doch ein Zusammenhang bestand.

Die Antwort, die er fand, hatte nichts
mit der existierenden Geometrie zu tun;

es war die Geometrie der Lage,

die heute als Graphentheorie bekannt ist.

Euler erstes Erkenntnis:

Die Strecke zwischen dem Betreten
einer Insel oder einem Flussufer

und dem Verlassen derer,
tat nichts zur Sache.

Also konnte die Karte vereinfacht werden:

Jede der vier Landmassen
wird als ein einziger Punkt dargestellt,

was wir heute "Knoten" nennen,

mit Linien, oder Kanten, zwischen ihnen,
um die Brücken darzustellen.

Dieser vereinfachte Graph erlaubt es uns,

die Grade eines jeden Knotens
ganz leicht zu zählen.

Das ist die Anzahl der Brücken,
die jede Landmasse berührt.

Warum sind die Grade wichtig?

Den Regeln der Herausforderung zufolge

müssen Personen, die über eine Brücke
an einer Landmasse ankommen,

diese über eine andere Brücke
wieder verlassen.

Die Brücken, die auf einer Strecke zu
und von jedem Knoten hin- und wegführen,

müssen in verschiedenen Paaren auftreten,

d. h. die Anzahl der Brücken,
die jede besuchte Landmasse berühren,

muss eine gerade Zahl sein.

Die einzig möglichen Ausnahmen

sind der Anfang und das Ende des Wegs.

Sieht man sich den Graph an,
wird offensichtlich:

Alle vier Knoten haben
einen ungeraden Grad.

Ganz gleich, welcher Weg gewählt wird,

an irgendeinem Punkt muss
eine Brücke zweimal überquert werden.

Euler nutzte diesen Beweis, um eine
allgemeine Theorie zu formulieren,

die für alle Graphen
mit zwei oder mehr Knoten gilt.

Ein Eulerischer Weg,
der jede Kante nur einmal betritt,

ist nur in einem von 2 Szenarios möglich.

Erstens, wenn es genau zwei Knoten
mit ungeraden Grad gibt,

was bedeutet,
die anderen sind alle gerade.

Dann ist der Ausgangspunkt
einer der ungeraden Knoten

und der Endpunkt der andere.

Zweitens, wenn alle Knoten
einen geraden Grad haben.

Dann beginnt und endet
der Eulerische Weg am selben Ort,

wodurch ein sogenannter
Eulerischer Rundgang entsteht.

Wie könntest du also einen Eulerischen Weg
in Königsberg entstehen lassen?

Ganz einfach:

Entferne einfach eine Brücke.

Sogar die Geschichte schaffte sich
ihren eigenen Eulerischen Weg.

Im Zweiten Weltkrieg zerstörte
die sowjetische Luftwaffe zwei der Brücken

und ermöglichte somit
einen Eulerischen Weg.

Aber zugegeben, das war
bestimmt nicht ihre Absicht.

Diese Bombardierungen radierten
Königsberg fast von der Karte aus.

Später wurde sie als die russische Stadt
Kaliningrad wieder aufgebaut.

Obgleich die Stadt Königsberg
und ihre 7 Brücken nicht mehr existieren,

wird man sich wegen eines scheinbar
trivialen Rätsels immer an sie erinnern,

das zu einem neuen Gebiet
der Mathematik geführt hat.