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← Wie die Königsberger Bücken die Mathematik revolutionierten - Dan van der Vieren

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Showing Revision 3 created 04/24/2018 by Swenja Gawantka.

  1. Heute findet man die Stadt Königsberg
    nicht mehr auf der Karte,

  2. aber eine besondere Eigenheit
    in ihrer geografischen Struktur
  3. machte sie zu einer der bekanntesten
    Städte in der Mathematik.
  4. Die mittelalterliche deutsche Stadt
    lag auf beiden Seiten des Pregel.
  5. Im Stadtzentrum gab es zwei große Inseln.
  6. Diese zwei Inseln waren miteinander
    und mit den Flussufern
  7. durch sieben Brücken verbunden.
  8. Der Mathematiker Carl Gottlieb Ehler,

  9. der später Bürgermeister
    einer benachbarten Stadt wurde,
  10. war von diesen Inseln
    und Brücken fasziniert.
  11. Er stellte sich immer wieder
    eine einzige Frage:
  12. Welche Strecke muss man gehen,
    um alle 7 Brücken zu überqueren,
  13. ohne auch nur eine davon
    mehr als einmal zu überqueren?
  14. Denke einen Moment darüber nach.
  15. 7
  16. 6
  17. 5
  18. 4
  19. 3
  20. 2
  21. 1
  22. Du gibst auf?
  23. Das solltest du auch.
  24. Denn es ist nicht möglich.
  25. Aber mit den Erklärungsversuchen entdeckte
    der berühmte Mathematiker Leonhard Euler
  26. ein neues Gebiet der Mathematik.
  27. Ehler schrieb an Euler
    und bat ihn um Hilfe.
  28. Euler lehnte die Frage zunächst ab,
    da sie nichts mit Mathematik zu tun hatte.
  29. Aber umso mehr er mit der Frage rang,
  30. umso mehr schien es, dass da
    doch ein Zusammenhang bestand.
  31. Die Antwort, die er fand, hatte nichts
    mit der existierenden Geometrie zu tun;
  32. es war die Geometrie der Lage,
  33. die heute als Graphentheorie bekannt ist.
  34. Euler erstes Erkenntnis:
  35. Die Strecke zwischen dem Betreten
    einer Insel oder einem Flussufer
  36. und dem Verlassen derer,
    tat nichts zur Sache.
  37. Also konnte die Karte vereinfacht werden:
  38. Jede der vier Landmassen
    wird als ein einziger Punkt dargestellt,
  39. was wir heute "Knoten" nennen,
  40. mit Linien, oder Kanten, zwischen ihnen,
    um die Brücken darzustellen.
  41. Dieser vereinfachte Graph erlaubt es uns,
  42. die Grade eines jeden Knotens
    ganz leicht zu zählen.
  43. Das ist die Anzahl der Brücken,
    die jede Landmasse berührt.
  44. Warum sind die Grade wichtig?
  45. Den Regeln der Herausforderung zufolge
  46. müssen Personen, die über eine Brücke
    an einer Landmasse ankommen,
  47. diese über eine andere Brücke
    wieder verlassen.
  48. Die Brücken, die auf einer Strecke zu
    und von jedem Knoten hin- und wegführen,
  49. müssen in verschiedenen Paaren auftreten,
  50. d. h. die Anzahl der Brücken,
    die jede besuchte Landmasse berühren,
  51. muss eine gerade Zahl sein.
  52. Die einzig möglichen Ausnahmen
  53. sind der Anfang und das Ende des Wegs.
  54. Sieht man sich den Graph an,
    wird offensichtlich:
  55. Alle vier Knoten haben
    einen ungeraden Grad.
  56. Ganz gleich, welcher Weg gewählt wird,
  57. an irgendeinem Punkt muss
    eine Brücke zweimal überquert werden.
  58. Euler nutzte diesen Beweis, um eine
    allgemeine Theorie zu formulieren,
  59. die für alle Graphen
    mit zwei oder mehr Knoten gilt.
  60. Ein Eulerischer Weg,
    der jede Kante nur einmal betritt,
  61. ist nur in einem von 2 Szenarios möglich.
  62. Erstens, wenn es genau zwei Knoten
    mit ungeraden Grad gibt,
  63. was bedeutet,
    die anderen sind alle gerade.
  64. Dann ist der Ausgangspunkt
    einer der ungeraden Knoten
  65. und der Endpunkt der andere.
  66. Zweitens, wenn alle Knoten
    einen geraden Grad haben.
  67. Dann beginnt und endet
    der Eulerische Weg am selben Ort,
  68. wodurch ein sogenannter
    Eulerischer Rundgang entsteht.
  69. Wie könntest du also einen Eulerischen Weg
    in Königsberg entstehen lassen?
  70. Ganz einfach:
  71. Entferne einfach eine Brücke.
  72. Sogar die Geschichte schaffte sich
    ihren eigenen Eulerischen Weg.
  73. Im Zweiten Weltkrieg zerstörte
    die sowjetische Luftwaffe zwei der Brücken
  74. und ermöglichte somit
    einen Eulerischen Weg.
  75. Aber zugegeben, das war
    bestimmt nicht ihre Absicht.
  76. Diese Bombardierungen radierten
    Königsberg fast von der Karte aus.
  77. Später wurde sie als die russische Stadt
    Kaliningrad wieder aufgebaut.
  78. Obgleich die Stadt Königsberg
    und ihre 7 Brücken nicht mehr existieren,
  79. wird man sich wegen eines scheinbar
    trivialen Rätsels immer an sie erinnern,
  80. das zu einem neuen Gebiet
    der Mathematik geführt hat.