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Chinese, Simplified subtitles

← 3.2 科赫曲线3

本视频从数学上演示了科赫曲线的长度在连续迭代后急剧增加的过程。视频中也列举了几个自然界中分形几何或者“空间填充”的例子,并且解释了其优越性。

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Subtitles translated from English Showing Revision 1 created 12/02/2013 by Kun Xiong.

  1. 为了让大家更好理解,我们用实际的数字来一次。
  2. 为简单起见,设曲线的起始长度为1米。
  3. 然后我们来看看表格里曲线长度的计算公式:
  4. 4的N(N是迭代次数)次方除以3的N次方乘以1。
  5. 1在这里就表示1米。
  6. 可见随着迭代次数的上升,曲线长度也会增加。
  7. 为什么?
  8. 嗯,其原因是每次我们在将线段长度三等分的同时,
  9. 会将线段数量变成原来的四倍。
  10. 所以线段数量的增长快于线段长度的减少。
  11. 所以到了100重迭代,虽然线段长度非常短,
  12. 短到10的负48次方量级,
  13. 这相当于小数点后跟了48个零,然后才到非零数字,
  14. 但线段的数量却如天文数字般增大,达到10的60次方量级。
  15. 这样实际上线段的长度是3.1万亿米。
  16. 说得更简单些,在100重迭代下,曲线长度是
  17. 30亿千米,或者说20亿英里。
  18. 很惊人吧!
  19. 想想这意味着什么?
  20. 这意味着虽然整条曲线的尺寸和一把米尺相当,
  21. 它曲曲折折如同我们之前见到的海岸线,
  22. 但这些微小的曲折却暗藏了无比巨大的长度。
  23. 虽然这还不是100重迭代,但这些曲折已经小得看不见了。
  24. 但在100重迭代下,这条米尺大小的曲线却能包含20亿英里的长度。
  25. 实在是让人吃惊。
  26. 当然,我们不可能在自然界里看见这么极端的分形。
  27. 但是它提示我们为什么大自然偏好分形。
  28. 这是将巨量物质——
  29. 不管是树枝,花菜还是山峰的地貌——
  30. 压缩到微小空间的极有效的方法。
  31. 之所以这条曲线被叫做“空间填充”也正是如此。
  32. 自然界还有很多“空间填充”的例子,比如
  33. 人体里组成血液运输系统的静脉,动脉和毛细血管;
  34. 比如植物深入地下的根;
  35. 比如大脑的结构。
  36. 所有这些例子都使用了一种叫做分形几何的方法
  37. 来优化一个微小空间能容纳的物质的量。
  38. 我们会在叫做尺度的单元里知道更多。