YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Russian subtitles

← 3:2 Кривая Коха 3

Длина кривой Коха резко возрастает при последовательной итерации.
В этом видео показывается, как это происходит математически; приводятся некоторые примеры фрактальной, "заполняющей пространство" геометрии в природе; а также объясняется, какие преимущества даёт подобная геометрия.

Get Embed Code
9 Languages

Showing Revision 2 created 10/22/2014 by etnav.kulik.

  1. Давайте разберёмся во всём этом
    на конкретном примере.
  2. Для упрощения, примем длину нашего
    начального сегмента за один метр.
  3. Теперь обратимся к таблице, которая
    использует нашу формулу длины кривой Коха.
  4. То есть четыре в степени номера уровня,
    делённое на три в степени номера уровня...
  5. ...и всё это умноженное на единицу:
    (4^N/3^N)*1.
  6. Единица - это один метр, вот он.
  7. Видно, что с повышением уровня
    длина кривой Коха возрастает.
  8. Почему же?
  9. Всё дело в том, что каждый раз мы
    делим длины сегментов на три,
  10. а количество сегментов умножаем
    на четыре.
  11. Поэтому количество сегментов увеличивается
    быстрее, чем уменьшается их длина.
  12. Таким образом, к 100-ому уровню длина
    сегментов становится крайне маленькой,
  13. -порядка десяти в минус сорок восьмой-
    10^(-48)
  14. (это сорок восемь нулей после запятой)
    0,0000000000...000000000000000000001
  15. но их количество возрастает астроно-
    мически до десяти в шестидесятой (10^60).
  16. В результате, общая длина кривой достигает
    3.1 триллиона метра.
  17. Для наглядности, длина кривой Коха
    при уровне 100 равна
  18. трём миллиардам километров (3 х 10^9 км)
    или двум миллиардам миль.
  19. Поразительно!
  20. Задумайтесь на минутку.
  21. Благодаря крошечным впячиваниям (подобно
    береговым линиям, которые мы видели ранее)
  22. кривая Коха, по размеру сопоставимая с
    метровой линейкой,
  23. способна вместить в себе огромную
    дистанцию.
  24. Это не сотый уровень; в любом случае
    мельчайших впячиваний мы бы не заметили.
  25. Но при сотом уровне, кривая сжимала бы
    около двух миллиардов миль в одном метре.
  26. Феноменально!
  27. Разумеется, такого экстремального
    сжатия
  28. не наблюдается в природных
    фракталах,
  29. но это объясняет высокую
    распространённость фракталов в природе.
  30. Это крайне эффективный способ сжатия
    огромного количества материи,
  31. будь то ветви деревьев, или цветочки
    брокколи, или горный ландшафт,
  32. в малый объём пространства.
  33. По этой причине кривую Коха называют
    "заполняющей пространство".
  34. Существует множество других примеров
    подобных "заполняющих" природных структур:
  35. вены, артерии и капилляры,составляющие
    сердечно-сосудистую систему теплокровных;
  36. корни растений, растущих в почве;
  37. структуры головного мозга.
  38. Во всех этих примерах фракталоподобная
    геометрия используется
  39. для оптимизации количества вещества,
    сжимаемого в небольшое пространство.
  40. Мы поговорим об этом подробнее в главе
    о масштабировании.