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← 3:2 The Koch Curve 3

The length of the Koch Curve increases dramatically in successive iterations. This video demonstrates how this occurs mathematically; identifies several examples of fractal, "space-filling" geometries in nature; and offers an explanation of why this geometry is beneficial.

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Showing Revision 1 created 03/23/2015 by João Luiz Pacheco.

  1. Vamos por tudo isso em perspectiva, ao olhar para números de verdade. Para manter as coisas simples vamos supor que o segmento incial tem 1 metro.
  2. Então podemos ver a tabela que usa nossa fórmula para o comprimento total que é [(4^(n)) / (3^(n))] * 1 (L = 1m aqui).
  3. Ok? Então você pode ver que o à medida que o nível aumenta, o comprimento total também aumenta. Por quê isso?
  4. Bem, a razão é que a cada vez dividimos os segmentos por 3, mas multiplicamos o número de segmentos por 4,
  5. Então o número de segmentos cresce mais rápido do que seus tamanhos diminuem.
  6. Então pelo nível "100", o tamanho do segmento é extremamente pequeno, da ordem de 10^(-48): um número decimal precedido de 48 zeros...
  7. Mas o número de segmentos tem aumentado astronomicamente, até a ordem de 10^(60). Então o comprimento da curva é de 3,1 trilhões de metros...
  8. E o que isso significa em termos mais simples é que, o comprimento da curva no nível 100 é de três bilhões de Km. Ou 2 bilhões de milhas.
  9. Isso fantástico, pense por um minuto no que significa. O que significa é que apesar de toda a curva caber na nossa régua de 1m,
  10. Ela é capaz de se comprimir, pelas suas rugosidades, uma enorme quantidade de distância.
  11. Isto não é no nível 100. Nós não poderíamos ver os detalhes ao nível 100, mas ao nível 100 a curva poderia comprimir 2 bilhões de milhas sobre a régua.
  12. Isto é incrível. É claro que não vemos isso tanto comprimido em estruturas fractais na natureza,
  13. mas nos dá ideia de porque a natureza prefere estruturas fractais: é uma forma extremamente eficiente de comprimir grandes somas de matéria,
  14. sejam galhos de árvores, ou brócolis, ou superfícies montanhosas, em pequenos espaços.
  15. Existem muitos outros exemplos de estruturas que comprimem matéria na natureza. Como as veias, artérias e capilares que transportam sangue.
  16. As raízes das plantas que crescem no subsolo. E estruturas no cérebro.
  17. Em todos esses exemplos, uma forma de geometria fractal esta sendo usada para otimizar a quantidade de material que é colocado em um pequeno espaço.
  18. Vamos ouvir mais sobre isso na unidade sobre "scaling" (olhar um fenômeno sobre várias escalas).