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← 3:2 Die Koch Curve - Teil 3

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Showing Revision 10 created 05/24/2014 by Alexander.

  1. Wir sollten nun den Zusammenhang herstellen, indem wir ein paar echte Zahlen einsetzen.
  2. Um die Sache einfach zu halten,
    setzen wir die Länge des Anfangssegments auf 1 Meter.
  3. Dann können wir uns eine Tabelle anschauen,
    welche die Formel für die Kurvenlänge enthält.
  4. Sie lautet vier hoch Iterationen, geteilt durch drei hoch Iterationen, mal eins
    [ (4^n / 3^n) * 1].
  5. In diesem Fall ein Meter (1m).
  6. Hier sieht man, wenn die Iterationen fortschreiten,
    nimmt die Länge der Kurve zu.
  7. Warum ist das so?
  8. Nun, der Grund hierfür ist,
    jedesmal, wenn wir die Segmentlänge durch drei teilen,
  9. multiplizieren wir Anzahl aller Segmente mit vier,
  10. also steigt die Anzahl der Segmente schneller,
    als die Länge der Segmente abnimmt.
  11. In der hundertsten Iteration, in der die Segmentlänge sehr klein ist,
  12. so in der Größenordnung zehn hoch minus achtundvierzig (10^(-48)),
  13. das ist das Dezimalkomma gefolgt von achtundvierzig Nullen bis wir zu einer nicht Nullziffer kommen,
  14. aber die Anzahl der Segmente ist astronomisch gewachsen,
    bis zur Größenordnung von zehn hoch sechzig (10^60).
  15. So dass die wirkliche Kurvenlänge 3,1 Billionen Meter beträgt.
  16. Dies bedeutet in bekannteren Größen, dass die Kurvenlänge bei der hundertsten Iteration,
  17. drei Milliarden Kilometer (3x10^9 km) oder zwei Milliarden Meilen (2x10^9)
  18. Das ist faszinierend!
  19. Denke eine Minute darüber nach, was das bedeutet?
  20. Es bedeutet, das obwohl unsere gesamte Kurve in useren Maßstab von einem Meter länge passt,
  21. hat sie die Fähigkeit, durch diese kleinen Ecken und Winkel, die wir auch an dem Küstenverlauf sahen,
  22. eine extreme Länge hineinzuquetschen.
  23. Dieses ist nicht die 100. Iteration - Wir könnten die kleinen Ecken und Winkel nicht sehen,
  24. aber bei Iteration 100, wäre die Kurve fähig drei Milliarden Kilometer in diese einen Meter breiten Kurve hineinzupressen.
  25. Das ist bewundernswert!
  26. Natütlich sehen wir in der Natur keine so große Länge die in fraktale Strukturen hineingepresst wird,
  27. aber es gibt uns einige Hinweise, warum die Natur fraktale Strukturen bevorzugt.
  28. Es ist ein extrem effizienter Weg eine große Menge Material,
  29. seien es Zweige von Bäumen, Broccoliröschen oder Berglandschaften,
  30. auf engstem Raum zusammenzupressen.
  31. Das ist der Grund, das die Kurve die Eigenschaft "raumfüllend" hat.
  32. Es gibt viele weitere Beispiele für raumfüllende Strukturen in der Natur, wie
  33. die Venen, Arterien und Kapillaren die das Bluttransportsystem im Körper bilden;
  34. die Wurzeln von Pflanzen die in die Erde wachsen und
  35. die Strukturen im Gehirn.
  36. In allen diesen Beispielen kommt eine Art von fraktaler Geometrie vor
  37. um die Menge von Material zu optimieren, die in einen kleinen Raum hineingepresst werden kann.
  38. Hierüber erfahren wir mehr in der Lektion über Skaleneffekte.