Changing onConnected for Continuous Update

Esta é a solução.

Para criar seu mLocationRequest,
basta chamar

LocationRequest.create e, depois,
para definir alta prioridade de precisão,

chame LocationRequest.setPriority
e passe uma constante

PRIORITY_HIGH_ACCURACY, que
se encontra na classe LocationRequest.

Você já definiu o intervalo como
1.000 milissegundos e, finalmente,

tudo o que precisa fazer
no FusedLocationApi

é requestLocationUpdates
e passar para o GoogleApiClient,

para LocationRequest e essa
referência à atividade,

para que os callbacks
cheguem a essa atividade.

Todo o código
deve estar em uma linha,

eu o dividi em linhas separadas
aqui para facilitar a leitura.

Como você estava
solicitando atualizações de localização,

precisará implementar um callback
chamado na localização alterada

que, como o nome sugere,
será chamado sempre que

a localização mudar,
mesmo que apenas pouco,

com esse intervalo e a
alta precisão determinando isso.