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Shell method for rotating around vertical line | AP Calculus AB | Khan Academy

  • 0:00 - 0:01
    함수 y＝(x－3)²×(x－1)이 있습니다
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    함수 y＝(x－3)²×(x－1)이 있습니다
  • 0:04 - 0:05
    함수 y＝(x－3)²×(x－1)이 있습니다
  • 0:05 - 0:08
    구하고 싶은 것은
  • 0:08 - 0:10
    이 함수의 x＝1부터 x＝3부분까지의 부분을
  • 0:10 - 0:13
    회전시킨 것입니다
  • 0:13 - 0:15
    이 식에서 x＝3이고 x＝1일 때는
  • 0:15 - 0:19
    함수를 0으로 만드는 값들입니다
  • 0:19 - 0:23
    이렇게 생긴 영역을
  • 0:23 - 0:25
    y축에 대해 회전시켜 봅시다
  • 0:25 - 0:27
    회전시키면
  • 0:27 - 0:29
    이런 모양을 얻을 수 있습니다
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    이 모양의 부피를 구해봅시다
  • 0:32 - 0:34
    여기서 사용할 방법은
  • 0:34 - 0:37
    원주각 방법이라는 새로운 방법입니다
  • 0:37 - 0:40
    원주각 방법을 사용하는 이유는
  • 0:40 - 0:41
    예전에 배울 때는
  • 0:41 - 0:43
    수직선에 대해 회전시켰고
  • 0:43 - 0:45
    디스크 방법을 사용했습니다
  • 0:45 - 0:46
    모든 식을 y에 대한 함수로 표현했죠
  • 0:46 - 0:47
    모든 식을 y에 대한 함수로 표현했죠
  • 0:47 - 0:48
    모두 디스크 형태로 표현했습니다
  • 0:48 - 0:50
    그리고 각 디스크에 대해 부피를 구했고요
  • 0:50 - 0:53
    하지만 여기서 문제는
  • 0:53 - 0:56
    함수를 y에 대해 표현하기 어렵다는 것입니다
  • 0:56 - 1:00
    이 식을 어떻게 y만으로 표현할 수 있나요?
  • 1:00 - 1:02
    따라서 그 대신에 식을 x에 대한 항으로 남기고
  • 1:02 - 1:05
    다른 기하학적 시각화 방법으로
  • 1:05 - 1:07
    부피를 구해보자 합니다
  • 1:07 - 1:09
    디스크를 만드는 과정 대신에
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    껍질을 만드는 과정을 상상해 봅시다
  • 1:12 - 1:14
    껍질은 무엇을 뜻할까요?
  • 1:14 - 1:20
    적분 구간의 각 x 구간을 잘라
  • 1:20 - 1:22
    사각형을 만들 수 있습니다
  • 1:22 - 1:25
    이 사각형을 회전시키면 어떻게 될까요?
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    여기 이 직사각형입니다
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    이 모든 사각형을 y축을 따라서 회전시킨다면 어떻게 될까요?
  • 1:33 - 1:37
    이 모든 사각형을 y축을 따라서 회전시킨다면 어떻게 될까요?
  • 1:37 - 1:38
    최대한 그려보겠습니다
  • 1:38 - 1:43
    최대한 그려보겠습니다
  • 1:43 - 1:45
    이런 식으로 보이겠죠
  • 1:45 - 1:47
    이런 식으로 보이겠죠
  • 1:47 - 1:50
    왼쪽 그림과는 전혀 다른 모양입니다
  • 1:50 - 1:52
    왼쪽 그림과는 전혀 다른 모양입니다
  • 1:52 - 1:55
    마치 속이 빈 원기둥처럼 보입니다
  • 1:55 - 1:57
    그게 바로 이를 껍질이라고
    부르는 이유일 겁니다
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    껍질은 약간의 깊이를 가질 것이고
  • 1:58 - 2:00
    그 깊이는 dx 정도가 됩니다
  • 2:00 - 2:08
    그 깊이는 dx 정도가 됩니다
  • 2:08 - 2:10
    그리고 이 높이는 함숫값이 될 것입니다
  • 2:10 - 2:12
    그리고 이 높이는 함숫값이 될 것입니다
  • 2:12 - 2:13
    높이는 f(x)입니다
  • 2:13 - 2:17
    이 경우에서 f(x)＝(x－3)²×(x－1)입니다
  • 2:17 - 2:22
    이런 원기둥 모양의 부피를 어떻게 알아낼까요?
  • 2:22 - 2:29
    만약 원기둥의 둘레를 알고 있다면
  • 2:29 - 2:32
    둘레에 원기둥의 높이를 곱하면 됩니다
  • 2:32 - 2:34
    둘레에 원기둥의 높이를 곱하면 됩니다
  • 2:34 - 2:37
    원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다면
  • 2:37 - 2:38
    원기둥의 겉넓이를 구할 수 있다면
  • 2:38 - 2:41
    원기둥의 겉넓이에 미소 깊이를 곱해주어
  • 2:41 - 2:44
    원기둥의 겉넓이에 미소 깊이를 곱해주어
  • 2:44 - 2:45
    원기둥의 부피를 구할 수 있습니다
  • 2:45 - 2:48
    이제 원기둥가 아닌 껍질이라 부릅시다
  • 2:48 - 2:49
    이제 원기둥가 아닌 껍질이라 부릅시다
  • 2:49 - 2:52
    껍질의 둘레는 얼마입니까?
  • 2:52 - 2:56
    껍질의 둘레는 얼마입니까?
  • 2:56 - 2:58
    한 껍질의 둘레는 얼마나 될까요?
  • 2:58 - 3:03
    둘레는 껍질의 반지름의 2π배 만큼의 값을 가집니다
  • 3:03 - 3:05
    x에 대한 함수로 나타내 보죠
  • 3:05 - 3:07
    어떤 식으로 표현될까요?
  • 3:07 - 3:09
    처음에는 2π를 곱하고
  • 3:09 - 3:11
    주어진 x에 대해 반지름은 어떻게 표현될까요?
  • 3:11 - 3:15
    반지름은 각 x에 대해 y축과 떨어진 수평 거리인
  • 3:15 - 3:19
    반지름은 각 x에 대해 y축과 떨어진 수평 거리인
  • 3:19 - 3:20
    x입니다
  • 3:20 - 3:22
    따라서 이 경우의 둘레는
  • 3:22 - 3:27
    2π×x입니다
  • 3:27 - 3:34
    이제 많은 껍질 중 어느 값이 높이가 될까요?
  • 3:34 - 3:37
    높이는 f(x)가 됩니다
  • 3:37 - 3:39
    바로 여기 f(x)입니다
  • 3:39 - 3:43
    껍질 외부 겉넓이는 어떻게 될까요?
  • 3:43 - 3:48
    "외부" 표면적 넓이로 표기합시다
  • 3:48 - 3:51
    "외부" 표면적 넓이로 표기합시다
  • 3:51 - 3:53
    지금은 깊이 dx에 대해 생각하지 말고
  • 3:53 - 3:55
    상단 부분과 하단 부분에 대해서도 생각하지 맙시다
  • 3:55 - 3:58
    그저 겉넓이에 대해서만 생각합시다
  • 3:58 - 4:00
    즉 겉넓이는
  • 4:00 - 4:02
    원주에 높이를 곱한 값이 됩니다
  • 4:02 - 4:08
    즉 2π×x×f(x)입니다
  • 4:08 - 4:10
    그리고 이 상황에서는
  • 4:10 - 4:11
    그리고 이 상황에서는
  • 4:11 - 4:18
    2π×x×(x－3)²×(x－1)로 표현됩니다
  • 4:18 - 4:20
    2π×x×(x－3)²×(x－1)로 표현됩니다
  • 4:20 - 4:21
    부피는 어떻게 될까요?
  • 4:21 - 4:27
    껍질의 부피는
  • 4:27 - 4:32
    이 식 전체에 dx를 곱한 값이 됩니다
  • 4:32 - 4:39
    2π×x×f(x)×dx입니다
  • 4:39 - 4:42
    자 이제 적분할 준비가 다 됐습니다
  • 4:42 - 4:46
    따라서 전체 모양의 부피는
  • 4:46 - 4:48
    정적분이 될 것입니다
  • 4:48 - 4:50
    모든 간격의 x에 대해 적분합시다
  • 4:50 - 4:58
    x＝1부터 x＝3까지 모두 더해봅시다
  • 4:58 - 5:00
    2π를 적분 기호 앞으로 꺼내고
  • 5:00 - 5:03
    2π를 적분 기호 앞으로 꺼내고
  • 5:03 - 5:06
    적분 기호 안쪽에는
  • 5:06 - 5:10
    x×f(x)가 있습니다
  • 5:10 - 5:17
    즉 x×(x－3)²×(x－1)이고
  • 5:17 - 5:19
    즉 x×(x－3)²×(x－1)이고
  • 5:19 - 5:23
    그 뒤에 dx를 가지고 있습니다
  • 5:23 - 5:24
    그 뒤에 dx를 가지고 있습니다
  • 5:24 - 5:27
    원주각 방법을 이용해
  • 5:27 - 5:31
    이상한 모양의 부피를
    정적분식으로 표현했습니다
  • 5:31 - 5:32
    이상한 모양의 부피를
    정적분식으로 표현했습니다
  • 5:32 - 5:34
    커넥트 번역 봉사단 |
Title:
Shell method for rotating around vertical line | AP Calculus AB | Khan Academy
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:33

Korean subtitles

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