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← Intro 3.6 Box-Counting Dimension (1)

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Showing Revision 1 created 10/30/2014 by Carlos Garrido.

  1. En la sub-unidad previa hablé de la
  2. dimensión fractal de varios objetos
  3. como las líneas costeras , pero aún no
  4. les he mencionado cómo estas dimensiones
  5. fractales del mundo real son computadas.
  6. Para nosotros fue posible computar
  7. la dimensión fractal de la curva de Koch
  8. y del triángulo de Sierpinsky
  9. porque son fractales matemáticamente
  10. perfectos, no objetos del mundo real.
  11. Pero hay mucho interés en computar
  12. dimensiones fractales aproximadas en el
  13. mundo real, porque suelen ofrecer ideas
  14. sobre sistemas naturales o creados por el hombre.
  15. Hay variados métodos para analizar fractales
  16. y hay libros enteros dedicados a este tema.
  17. Aquí les mostraré un método comunmente
  18. utilizado para estimar la dimensión fractal: el método de conteo de cajas.
  19. El método de conteo de cajas se relaciona
  20. cercanamente con la idea de que mientras
  21. cambias el tamaño de la regla con la que
  22. mides un fractal, obtienes una medida distinta
  23. mientras vas disminuyendo las escalas de longitud.
  24. Así que en esto consiste el método:
  25. tomas un objeto particular.
  26. Aquí tengo una imagen de la línea costera británica.
  27. Entonces lo que hacemos es cubrir esta
  28. figura con una rejilla de cajas o cuadros.
  29. Cada cuadro tiene una longitud de lado
  30. que es la escala con la que estamos midiendo esta figura.
  31. Y lo que hacemos es contar el número de cuadros en los que
  32. parte de la línea costera aparece.
  33. Por ejemplo, no aparece en este cuadro
  34. aunque marca el centro de Gran Bretaña, así que no lo contamos
  35. Si seguimos este procedimiento y contamos el número de
  36. cuadros que contienen parte de esta línea tenemos 36.
  37. La longitud de lado fue de 10 unidades por cuadro.
  38. Ahora voy al siguiente paso e incremento
  39. el tamaño de los cuadros. Así que ahora
  40. calculo el número de cuadros pero
  41. en una escala diferente. Aquí porque el
  42. tamaño de un lado de un cuadro es mayor,
  43. tengo menos cuadros que contienen parte de la imagen.
  44. Luego subo otra vez.
  45. Aquí el tamaño del cuadro es
  46. mayor nuevamente, doce. Y tengo 27 cuadros
  47. que contienen parte de la figura.
  48. Siguen haciendo esto y acumulando esta
  49. lista de números. Veamos la relación entre
  50. la dimensión de Hausdorff que ya
  51. aprendimos y el método de conteo de cuadros.
  52. Si recuerdan, para la dimensión de Hausdorff
  53. teníamos una relación que era el número de copias de
  54. una figura de un nivel anterior, y tomábamos
  55. su logaritmo, que era igual a la dimensión
  56. por el logarimto del factor de reducción del nivel anterior.
  57. Se puede demostrar que
  58. si ocupas este método de conteo de cuadros
  59. esto se puede aproximar mirando
  60. al logarimto del número de cuadros que es
  61. igual a la dimensión por el logaritmo de
  62. uno sobre la longitud de lado.
  63. "D" es la dimensión de conteo de cuadros.
  64. Si quieren ver la derivación de esto y
  65. otros detalles sobre la relación entre
  66. estas dimensiones, vean el capítulo 4
  67. del "Explorador de Fractales", que es un
  68. sitio web sobre fractales, del cual hay un
  69. link desde nuestra pagina de materiales de curso.
  70. Ahora la pregunta es cómo obtenemos
  71. esta "D" de nuestros valores de números
  72. de cuadros y longitudes de lado.
  73. Pueden notar que esta ecuación
  74. es de hecho la ecuación de una
  75. línea recta si la trazamos en una gráfico
  76. donde los ejes aquí son el logaritmo de
  77. uno sobre la longitud de lado - este valor x -
  78. y el eje y es el logaritmo del número de cuadros.
  79. "D" sería la pendiente de esta línea.
  80. Entonces podemos tomar las
  81. medidas que tomamos para cada nivel del
  82. conteo de cuadros, y trazar cada medida en este gráfico.
  83. Aquí tenemos unas medidas hipotéticas que podríamos
  84. haber obtenido, en las que el número de cuadros disminuye
  85. mientras aumenta la longitud de lado.
  86. Ahora, esto es uno sobre la longitud de lado
  87. así que mientras la longitud de lado aumenta,
  88. esto disminuye.
  89. Pueden ver que de ser esto verdad
  90. debe formarse una línea recta cuya pendiente es la dimensión
  91. por lo que podemos estimar la dimensión
  92. tomando las medidas de nuestros cuadros y trazando estos puntos
  93. dibujando una linea recta entre ellos y
  94. averiguando cuál es la pendiente de esa
  95. línea, y esa es nuestra dimensión.
  96. Eso es, aproximadamente, lo que la gente hizo
  97. para calcular cosas como la dimensión fractal de una línea costera.