Testing solutions to inequalities

Έχουμε δύο ανισώσεις

όπου στην πρώτη
το x και 2 είναι μικρότερο ή ίσο του 2x

και στην άλλη ανίσωση
το 3x συν 4 είναι μεγαλύτερο από το 5.

Εδώ τώρα έχουμε τέσσερις αριθμούς
και θέλουμε να δούμε

αν κάποιος από αυτούς
επαληθεύει κάποια ανίσωση.

Κάντε μία παύση στο βίντεο
και δοκιμάστε μόνοι σας

έναν έναν τους αριθμούς.
Το 0 ικανοποιεί αυτήν την ανίσωση;

Το 1 επαληθεύει κάποια
από τις δύο;

Σας προτείνω λοιπόν να δοκιμάσετε
κάθε έναν αριθμό και στις δύο ανισώσεις

για να εξετάσετε αν τις επαληθεύουν.

Αν το δοκιμάσατε μόνοι σας

πάμε να το δούμε και μαζί.

Ας πούμε λοιπόν ότι ξεκινάμε
με το 0 στην πρώτη ανίσωση.

Αντικαθιστούμε λοιπόν
το x με 0 και έχουμε:

0 συν 2 είναι μικρότερο
ίσο δύο φορές το 0;

Αληθεύει αυτό;

Για να δούμε. Στο πρώτο μέλος
έχουμε 0 συν 2 που κάνει 2

και θέλουμε να είναι μικρότερο
ή ίσο από το 0.

Είναι το 2 μικρότερο
ή ίσο από το 0;

Φυσικά όχι. Το 2 είναι
μεγαλύτερο από το 0.

Άρα η πρόταση αυτή δεν
είναι αληθής

επομένως το 0 δεν ικανοποιεί
την πρώτη ανίσωση

αλλά πάμε να δούμε αν
επαληθεύει τη δεύτερη.

Για να επαληθεύει την ανίσωση
αρκεί το 3 φορές το 0 συν 4

να είναι μεγαλύτερο
από το 5 φορές το 0.

3 επί 0 κάνει 0
συν 4, 4.

Το 4 λοιπόν τώρα είναι μεγαλύτερο
από το 0; Φυσικά και είναι

άρα το 0 ικανοποιεί
αυτήν την ανίσωση.

Πάμε στο 1.

Θέλουμε να δούμε αν το 1 και 2
είναι μικρότερο ή ίσο από

το 2 επί 1 που κάνει 2.

2 και 1 κάνει 3, και το 3 είναι μικρότερο
ή ίσο από το 2;

Όχι. Το 3 είναι μεγαλύτερο
του 2

επομένως και το 1
δεν ικανοποιεί την πρώτη ανίσωση.

Για να δοκιμάσουμε τώρα δεξιά.

3 επί 1 συν 4 είναι μεγαλύτερο

από το 5 επί 1;

3 επί 1 κάνει 3, συν 4
7

και το 7 είναι μικρότερο
από το 5 επί 1 που κάνει 5;

Ναι αυτό είναι αληθές

άρα και το 1 και το 0
επαληθεύουν τη δεξιά ανίσωση

αλλά δεν επαληθεύουν την
πρώτη.

Πάμε τώρα να δούμε το 2.

Βάζουμε όπου x στην πρώτη ανίσωση
και παίρνουμε:

2 συν 2 μικρότερο ή ίσο

από το 2 επί 2.

Το 4 λοιπόν είναι μικρότερο
ή ίσο από το 4.

Το 4 είναι ίσο με το 4

και εμείς θέλουμε μικρότερο ή ίσο
άρα επαληθεύει.

Επομένως το 2 τελικά
ικανοποιεί την ανίσωση.

Πάμε να το δούμε στην
ανισότητα δεξιά.

Το 3 φορές το 2 συν 4
θέλουμε να είναι μεγαλύτερο

από το 5 φορές το 2.

3 επί 2, 6 συν 4, 10

και θέλουμε το 10 αυτό
να είναι γνήσια μεγαλύτερο

από το 2 επί 5 που κάνει 10.

Το 10 όμως είναι ίσο με το 10,
δεν είναι μεγαλύτερο

άρα δεν επαληθεύει.

Αν όμως είχαμε μεγαλύτερο
ή ίσο

τότε θα ήταν μια χαρά.

Εδώ έχουμε γνήσια ανισότητα,
το 10 είναι μεγαλύτερο από το 10

που προφανώς δεν ισχύει

γιατί το 10 είναι ίσο με το 10

άρα το 2 δεν ικανοποιεί αυτήν
την ανίσωση.

Πάμε τώρα να δοκιμάσουμε το 5.

Στην αριστερά ανίσωση
βάζουμε όπου x το 5

και θέλουμε τελικά το 5 και 2
να είναι μικρότερο ή ίσο με το 2 επι 5.

Το 7 δηλαδή μικρότερο ή
ίσο από το 10 που ισχύει,

αφού το 7 είναι μικρότερο του 10.

Ικανοποιείται ένα από
τα μικρότερο ή ίσο

άρα αληθεύει η ανισότητα επομένως το
5 επαληθεύει την ανισότητα.

Αυτό που θα έχετε παρατηρήσει
ως τώρα, είναι ότι μία ανίσωση

μπορεί να έχει πολλές λύσεις
που την ικανοποιούν

Μπορούν να έχουν άπειρες λύσεις
αλλά μπορεί να μην έχουν και καμία.

Μέχρι στιγμής λοιπόν στους αριθμούς
που δοκιμάσαμε βρήκαμε

ότι το 0 και το 1 ικανοποιούν τη
δεξιά ανίσωση αλλά όχι την αριστερά

και το 2 επαληθεύει την αριστερά
ανίσωση αλλά όχι τη δεξιά.

Πάμε να δούμε και το 5 δεξιά.

3 επί 5 συν 4

είναι μεγαλύτερο από 5 επί 5;

3 επί 5 κάνει 15, συν 4, 19

και το 19 δεν είναι μεγαλύτερο
από 25

άρα το 5 δεν επαληθεύει

και τη δεξιά ανίσωση.

Εύχομαι να το βρήκατε διασκεδαστικό.