ორწევრა განაწილების მოსალოდნელი მნიშვნელობა

წინა ვიდეოში ვისწავლეთ, თუ რას უდრის
შემთხვევითი ცვლადის

მოსალოდნელი მნიშვნელობა

ეს უბრალოდ უდრიდა პოპულაციის საშუალოს

თუმცა, რადგან შემთხვევითი ცვლადის დროს
პოპულაცია უსასრულოა

ვერ აიღებ ყველა ელემენტს და შემდეგ მათგან
საშუალოსაც ვერ გამოიყვან

უნდა თქვა, რომ თითოეული მნიშვნელობა

რაღაც სიხშირით, რაღაც ალბათობით
გვხვდება

ამიტომ უნდა აიყო ალბათობისმიერი ჯამი

ეს კი იგივეა, რაც ყველაფრის შეკრება და
შემდეგ მათ რაოდენობაზე გაყოფა

თუმცა ეს მეთოდი მივუსადაგეთ ელემენტების
უსასრულო რაოდენობას, რადგან

შემთხვევითი ცვლადით მუდამ შეგიძლია კიდევ
ერთი რიცხვის მიღება

შემდეგ გამოვთვალეთ იმ ორწევრა
განაწილებების

მოსალოდნელი მნიშვნელობა, რომლებიც
ჩვენ შევისწავლეთ

განსაკუთრებით კი მონეტის აგდების
შემთხვევა

ამ ვიდეოში ვისწავლით ზოგად ფორმულას

ორწევრა განაწილების
მოსალოდნელი მნიშვნელობისთვის

თუ ვამბობთ, რომ შემთხვევითი ცვლადი x
უდრის:

P ალბათობის "წარმატებათა" რაოდენობას
n რაოდენობის ცდის შემდეგ

შემეძლო ეს ასეც ჩამომეყალიბებინა:

"მოსული გერბების რაოდენობა, რომლებსაც
P ალბათობა ჰქონდათ, n აგდების შემდეგ"

ეს იქნებოდა იგივე, რაც დავწერე აქ

ახლა კი გამოვთვალოთ ამისი მოსალოდნელი
მნიშვნელობა

როგორც ვნახეთ, თუ გამოთვლიდი ალბათობის
განაწილებას ამ შემთხვევითი ცვლადისთვის

მიიღებდი ორწევრა განაწილებას, რომელსაც
გაუსის მრუდის ფორმა ექნებოდა

სანამ გამოთვლას დავიწყებდეთ, პირდაპირ
პასუხს გეტყვით

რადგან ის საკმაოდ იოლად მისახვედრია

ამ შემთხვევითი ცვლადის მოსალოდნელი
მნიშვნელობა იქნება:

n გამრავლებული p-ზე

მოდი განვმარტავ

დავუშვათ, რომ x უდრის ჩემ მიერ კალათბურთის
ფარში ჩაგდებული ბურთების რაოდენობას

10 სროლის შემდეგ

თითოეული სროლის ჩაგდების ალბათობა კი
არის 40 პროცენტი

10 სროლის შემდეგ ჩაგდებული ბურთების
მოსალოდნელი რაოდენობა იქნება--

10 სროლის შემდეგ ჩაგდებული ბურთების
რაოდენობა, 40-პროცენტიანი ალბათობით, არის:

ალბათობა გამრავლებული სროლების
რაოდენობაზე

40 პროცენტი, ანუ ნოლი მთელი ოთხი
გამრავლებული 10-ზე

არ იფიქრო, რომ მოსალოდნელი რაოდენობა
ზუსტად ტოლი იქნება

რეალურად ჩაგდებული ბურთების შესაძლო
რაოდენობის

რადგან ხანდახან ალბათობათა გადანაწილება
ოდნავ უცნაურია ხოლმე

თუმცა, ორწევრა განაწილების დროს, შეგილია
სწორედ ასე იფიქრო

ეს არის იმ სროლების რაოდენობა, რომლებსაც
მოსალოდნელია, რომ ჩააგდებ

ან, ყველაზე მეტად მოსალოდნელი
შედეგი

თუ შენი სროლის პროცენტი არის 40 და
10-ჯერ ისვრი ბურთს

მოსალოდნელია, რომ ოთხ ბურთს
ჩააგდებ

შეიძლება რეალურად ექვსი ან
სამი ბურთი ჩააგდო, თუმცა

ეს არის მოსალოდნელი შედეგი

ყოველი სროლის დროს, 40 პროცენტია იმის
შანსი, რომ ამ ბურთს ჩააგდებ

ამიტომ შეიძლება თქვა, რომ ყოველ სროლაზე
"ჩაგდებული ბურთის 40 პროცენტს" აგროვებ

და თუ 10-ჯერ ისვრი, მიიღებ
"ოთხ მთლიან ჩაგდებულ ბურთს"

შეგიძლია ამას ასეც შეხედო

ახლა კი დავამტკიცოთ, რომ ეს ჭეშმარიტია
ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის,

რომელიც ორწევრა განაწილებით აღიწერება

ვთქვათ, რა იქნება იმის ალბათობა, რომ
x უდრის k-ს?

გასაგებად ოდნავ რთულია
კალათბურთის ანალოგია რომ დავიხმაროთ,

რა იქნება იმის ალბათობა, რომ მე ჩავაგდებ--
k იყოს სამი ბურთის ტოლი, ან რაიმე სხვის

თუ გვაქვს n სროლა, აქედან გვაქვს
ჩაგდებული სროლების k რაოდენობა

ეს რამდენჯერმე გავაკეთეთ წინა ვიდეოებში

შემდეგ ამას ვამრავლებთ თითოეული შემთხვევის
ალბათობაზე

თუ ვაგდებ k სროლას, მაშინ

ეს იქნება თითოეული სროლის ჩაგდების
ალბათობა, ანუ p

აყვანილი k ხარისხში

p k ხარისხში იქნება k რაოდენობის სროლის
ჩაგდების ალბათობა

ხოლო დანარჩენი სროლები კი მე უნდა
ავაცილო

აცილების ალბათობა იქნება ერთს მინუს p

თუ ჩავაგდე სროლების k რაოდენობა, მაშინ
დანარჩენი სროლები უნდა ავაცილო

ამიტომ ავაცილებ n-ს მინუს k რაოდენობის
სროლას

ორწევრა განაწილებაში, ეს არის იმის
ალბათობა,

რომ მიიღებ k რაოდენობის "წარმატებას"

ისიც ვიცით, რომ შემთხვევითი ცვლადის
მოსალოდნელი მნიშვნელობის გამოთვლისას

იღებ ალბათობებით შეწონილ ჯამს, ანუ
ჯამს ალბათობების მიხედვით

არ მინდა დაგაბნიო, თუ ეს ფორმულა გაიაზრე
უკვე ძალიან კარგია

ახლა კი უფრო ტექნიკურ დეტალებში
გადავეშვათ

მოსალოდნელი მნიშვნელობა არის
ამ ელემენტების ალბათობებით შეწონილი ჯამი

ამიტომ, უნდა აიღო იმის ალბათობა, რომ
x უდრის k-ს

ეს ალბათობა გაამრავლო k-ზე და

ეს გამოთვალო ყველა შესაძლო k-სთვის და
შემდეგ შეკრიბო

x-ის მოსალოდნელი მნიშვნელობა იქნება--

ჯამი--
k-ს ყველა შესაძლო მნიშვნელობას ვიღებთ

ამიტომ k ნოლიდან დაიწყება

როცა k ნოლია, კალათბურთის ვერსიაში,
ვერცერთ სროლას ვერ ვაგდებ

n-მდე, რაც ნიშნავს, რომ ყველა, n ოდენობის
ბურთს ჩავაგდებ

თითოეული უნდა გაამრავლო k-ზე

ანუ ჩაგდებული ბურთების k რაოდენობას
ვამრავლებ k ბურთის ჩაგდების ალბათობაზე

რა იყო k ბურთის ჩაგდების ალბათობა?

ეს იყო ეს გამოსახულება:

ახლა უნდა გადავიდეთ ალგებრაზე

სიგმა ალგებრაზე

ჩვენ ვკრებთ k უდრის ნოლიდან n-მდე

ამიტომ პირველი წევრი იქნება k უდრის ნოლს

თუ პირველი წევრი ნოლის ტოლია,
მაშინ ეს ყველაფერი ნოლის ტოლი გამოვა

ამიტომ k უდრის ნოლი წევრი მთლიან ჯამში
არ შევა

რადგან ეს გამოსახულება ნოლის ტოლი გამოვა

ეს ჯამი შეიძლება ჩაიწეროს, როგორც:

ამ წევრებს უმატებ, სანამ არ მიადგები
მომენტს, როდესაც k უდრის ნოლს

ეს არის ამ ჯამის ჩაწერის ერთ-ერთი ხერხი

პირველი წევრი, ანუ აი ეს
იქნება ნოლის ტოლი

რადგან k ნოლს უდრის, ნოლი კი რაზეც არ უნდა
გაამრავლო მაინც ნოლს მიიღებ

ამიტომ შეგვიძლია ეს წევრი დავივიწყოთ და
ჯამი ჩავწეროთ, როგორც:

აი ამის ჯამი

ხელახლა ჩავწეროთ, მოსალოდნელი მნიშვნელობა
ტოლია--

k უდრის ნოლის მაგივრად დავიწყებთ
k უდრის ერთიდან

k უდრის ერთიდან n-მდე

k გამრავლებული n-იდან k-ზე

გამრავლებული p-ზე k ხარისხში გამრავლებული
ერთს მინუს p-ზე

აყვანილი n-ს მინუს k ხარისხში

გავაგრძელოთ, ჯერჯერობით მხოლოდ ის
პირველი წევრი მოვიშორეთ

მოდი ამოვწეროთ ბინომური კოეფიციენტი

როგორც ჩანს ჩემს iPod-საც სურს მათემატიკის
სწავლა

ეს უდრის--
ბინომურ კოეფიციენტს ამოვწერ

k უდრის ერთს
n

k გამრავლებული--
ეს იქნება n-ის ფაქტორიალი შეფარდებული

k-ს ფაქტორიალი გამრავლებული
n-ს მინუს k-ს ფაქტორიალზე

გამრავლებული p-ზე k ხარისხში

გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
n-ს მინუს k ხარისხში

აქ შეგვიძლია გავამარტივოთ
რას უდრის k გაყოფილი k-ს ფაქტორიალზე?

მოდი სხვანაირად გადავწერ

k-ს ფაქტორიალი უდრის k გამრავლებული
k-ს მინუს ერთზე

გამრავლებული k-ს მინუს ორზე

და ასე შემდეგ, სანამ ერთამდე არ მივალთ

k ფაქტორიალი შეიძლება ასევე ჩაიწეროს
როგორც:

k გამრავლებული k-ს მინუს ერთის
ფაქტორიალზე

ამიტომ ამის გადაწერა შეიძლება, როგორც:

k გამრავლებული k-ს მინუს ერთის ფაქტორიალზე
ამით ეს ორი k შეიკვეცება

ხელახლა გადავწერ ყველაფერს

ჯამი k უდრის ნოლიდან n-მდე

n ფაქტორიალი შეფარდებული

k-ს მინუს n-ის ფაქტორიალი გამრავლებულ
n-ს მინუს k-ს ფაქტორიალზე

გამრავლებული p-ზე k ხარისხში გამრავლებული

ერთს მინუს p-ზე n-ს მინუს k ხარისხში

ეს კიდევ უნდა გავამარტივოთ, უნდა
დავიყვანოთ n-ჯერ p-მდე

ამიტომ ვცადოთ n-ჯერ p-ს ფრჩხილებს გარეთ
გაყვანა

და ყველაფერი დანარჩენი როგორღაც
ერთად გადავაქციოთ

n ფაქტორიალი შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც:
n გამრავლებული n-ს მინუს ერთის ფაქტორიალზე

p აყვანილი k ხარისხში კი იგივეა, რაც:

p გამრავლებული p-ზე k-ს მინუს ერთ
ხარისხში

ახლა გავიტანოთ ეს n და p, მივიღებთ:

np გამრავლებული ჯამი k უდრის ერთიდან
n-მდე

n-ს მინუს ერთის ფაქტორიალი შეფარდებული

k-ს მინუს ერთის ფაქტორიალზე გამრავლებული
n-ს მინუს k-ს ფაქტორიალზე

გამრავლებული p-ზე k-ს მინუს ერთ ხარისხში

გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
n-ს მინუს k ხარისხში

უკვე ახლოს ვართ

მოსალოდნელი მნიშვნელობა უნდა იყოს ამის,
ანუ n-ჯერ p-ს ტოლი

ამას მივაღწევთ თუ დავამტკიცებთ, რომ
ეს ყველაფერი ერთის ტოლია

ამისთვის გამოვიყენებ ჩანაცვლებას

ვთქვათ, რომ a უდრის k-ს მინუს ერთს
b კი უდრის n-ს მინუს ერთს

რისი ტოლი იქნება n-ს მინუს k?

თუ a უდრის k-ს მინუს ერთს
მაშინ a-ს პლუს ერთი იქნება k-ს ტოლი

b-ს პლუს ერთი კი n-ის ტოლი

n-ს მინუს k კი ამიტომ უდრის:
a-ს პლუს ერთს მინუს b-ს მინუს ერთი

ეს კი უდრის a-ს მინუს b-ს

ეს მთლიანი ჯამი გახდება--

np გამრავლებული ჯამი--

როდესაც k უდრის ერთს, რისი ტოლია a?

a უდრის ნოლს

ახლა, როდესაც k უდრის n-ს, რისი ტოლია
a?

a იქნება n-ს მინუს ერთის ტოლი

თუმცა n-ს მინუს ერთი არის იგივე, რაც b

ამიტომ ეს იქნება ჯამი a უდრის ნოლიდან
b-მდე

b უდრის n-ს მინუს ერთს, ამიტომ აქ
გვექნება b ფაქტორიალი

შეფარდებული k-ს მინუს ერთის, ანუ
a-ს ფაქტორიალი

აქ არასწორად დავწერე, n-ს მინუს k უნდა
იყოს b-ს მინუს a

n უდრის b-ს პლუს ერთს ვაკლებთ
a-ს მინუს ერთს

ამიტომ ვიღებთ b-ს მინუს a-ს

n-ს მინუს k გახდება b-ს მინუს a
ფაქტორიალი

გამრავლებული p-ზე k-ს მინუს ერთ ხარისხში
ანუ p-ზე a ხარისხში

გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
n-ს მინუს k ხარისხში

n-ს მინუს k კი იგივეა, რაც b-ს მინუს a

თითქმის მოვრჩით, რისი ტოლი იქნება ეს?

ეს უდრის:

np გამრავლებული ჯამზე a უდრის ნოლიდან
b-მდე

ეს იქნება b-დან a
b ვარიანტიდან ვირჩევთ a შედეგს

გამრავლებული p-ზე a ხარისხში

გამრავლებული ერთს მინუს p-ზე
b-ს მინუს a ხარისხში

რას უდრის ეს?

იღებ ორწევრა განაწილების ყველა წევრს--

ეს არის ალბათობა თითოეული a-სთვის,
a-ს თითოეული მნიშვნელობისთვის

და იღებ ამ ყველა a-ს ჯამს

განაწილების გრაფიკს დავხატავ

თითოეული ეს სვეტი გამოსახავს
რომელიმე ამ წევრს

a უდრის ნოლი წევრი არის ეს,
a უდრის ერთს წევრი კი იქნება ეს

ასე იქნება ყოველი, b რაოდენობა წევრისთვის

ჩვენ კი ვკრებთ ყველა ამ ალბათობას

ვკრებთ ყველა მნიშვნელობას, რომლის მიღებაც
შეუძლია ჩვენს შემთხვევით ცვლადს

თუ შეკრებ ყველა ალბათობას, მაშინ
საბოლოოდ მიიღებ ერთს

ეს არის გერბების ალბათობას დამატებული
საფასურის ალბათობა

ჩვენ ვკრებთ ყველა შესაძლო შემთხვევის
ალბათობას

ეს არის ალბათობის მთლიანი განაწილების
ჯამი

რაც იქნება ერთის ტოლი

დაგვრჩება, რომ შემთხვევითი ცვლადის
მოსალოდნელი მნიშვნელობა

იქნება n-ჯერ p-ის ტოლი

სადაც n არის მცდელობების რაოდენობა

p კი თითოეული მცდელობის
გამართლების ალბათობა

ეს ჭეშმარიტია მხოლოდდამხოლოდ
ორწევრა განაწილებისთვის