Dutch subtitles

← Chaos 3.4 Randomness (1)

Get Embed Code
3 Languages

Showing Revision 13 created 01/04/2017 by Subadel 7.

  1. In dit onderdeel introduceer ik het
    idee dat een chaotisch, dynamisch systeem,
  2. zoals de logistische functie met
    r = 4,
  3. een deterministische bron
    van willekeurigheid is.
  4. Om dit te kunnen doen,
  5. moeten we eerst goed
    nadenken over
  6. willekeur behelst.
  7. Wat betekent het eigenlijk
    wanneer wij zeggen dat
  8. uitkomst of proces willekeurig is?
  9. Ik zal laagje voor laagje een setje
    argumenten hiervoor opbouwen.
  10. Geen van die argumenten is op zich
    nogal technisch van aard,
  11. met andere woorden, er is geen calculus
    of algebra bij nodig, maar
  12. ze zijn van conceptueel rijk
    en een beetje abstract.
  13. Toch denk ik dat wij zullen eindigen
  14. met een aantal hele interessant conclusies
  15. die wellicht verrassend en
    heel plezierig zijn om over na te denken.
  16. Laten we dus starten!
  17. Ik start met een techniek die bekend
    staat als 'symbolische dynamica'.
  18. Het idee achter 'symbolisch dynamica'
    is het omzetten van een baan,
  19. in dit geval dus een serie van nummers,
    in dit geval tussen 0 en 1,
  20. in een reeks van symbolen.
  21. En de standaardwijze hierbij
    is alsvolgt:
  22. Wanneer onze iteratief x< 0.5
    dan noem ik die 'L".
  23. En wanneer x > of x = 0.5
    dan noem ik dat "R".
  24. Ik stel me voor dat deze aan de
    linkerkant van het interval zit
  25. en deze aan de rechterkant.
  26. De symbolen die ik gebruik zijn
    volstrekt willekeurig.
  27. Ik had ook harten en schoppen
    of x en y of 0 en 1 kunnen gebruiken,
  28. maar ik gebruik L en R.
  29. Voorbeeld: Stel, ik heb de volgende route
  30. OK, hier zijn de eerste iteraties voor
    de logistische functie,
  31. nogmaals r = 4 en de initiële conditie
    is 0.613.
  32. Laten wij deze nu omzetten in
    symbolische dynamica.
  33. 0.613, dat is > dan 0.5 dus dat
    wordt een R.
  34. 0.949, dat is ook > 0.5 dus dat is
    ook een R.
  35. 0.194, is < 0.5,
    dus noem ik die L.
  36. 0.625, dat is > 0.5 dus
    dat is een R.
  37. En deze is ook > 0.5
    dus dat zal een R zijn.
  38. Dus het idee is dat ik elke route,
    elke baan, een volgorde van nummers
  39. tussen 0 en 1 en deze kan omzetten
    in een serie symbolen,
  40. RRLRR in dit geval.
  41. Nu we de
    symbolen volgorde kennen,
  42. is het idee dat wij nu de dynamica
    van de reeks van de symbolen,
  43. in plaats van de dynamica van de baan
    kunnen bestuderen.
  44. En in veel gevallen kan men laten zien
    dat de kenmerken van de banen,
  45. hetzelfde zijn als de kenmerken
    van de symbolen reeks.
  46. Dus het bestuderen van de symbolen reeks
    is net zo goed als de originele baan.
  47. Laat ik dat even noteren.
  48. Dus; kenmerken zijn gelijk voor de baan
    en de symbolen reeks.
  49. Wanneer ik het heb over 'kenmerken',
    dan bedoel ik de aanwezigheid
  50. van vaste punten
    en de stabiliteit van vaste punten.
  51. Het symbolische, dynamische systeem met
    alleen de symbolen L en R,
  52. zal hetzelfde aantal vaste punten hebben
    en de stabiliteit zou hetzelfde zijn,
  53. En wanneer de symbolische reeks
    gevoeligheid voor initiële condities kent,
  54. oftewel aperiodiciteit, dan zal
    de originele baan,
  55. het originele dynamische systeem
    dat tevens hebben.
  56. Dit is overigens ook weer niet een
    voor de hand liggende conclusie,
  57. want het lijkt er op dat ik met
    de keuze van de symbolen
  58. veel informatie weggooi.
  59. Immers, elk nummer tussen 0 en 0,5
    heb ik gewoon in een L omgezet.
  60. Dat is best wel grof om te doen.
  61. Er zijn oneindig veel getallen tussen
    0 en 0.5 en die zet ik allemaal om in L.
  62. Dus, het lijkt erop dat ik informatie
    verlies, dus hoe
  63. kunnen die twee dingen nu
    hetzelfde zijn.
  64. Wel, wat blijkt is dat deze manier
    in het bijzonder,
  65. van het vormen van symbolen,
    kan men het volgende laten zien
  66. en beargumenteren.
  67. Laat ik dit voorbeeld laten zien,
    zoiets als dit.
  68. Stel dat ik je de volgende
    reeks aan symbolen liet zien
  69. RRLRLLR
  70. Dan kan ik je vragen
    naar de initiële condities
  71. hebben geleid tot deze
    specifieke reeks symbolen.
  72. Men kan laten zien, door terug
    te redeneren, dat dit past bij
  73. een vrij smalle band aan
    initiële condities.
  74. Sterker nog, het zou zelfs een
    eenzijdig gebonden band zijn
  75. die hieraan ten grondslag
    zou liggen.
  76. En dan zou ik kunnen zeggen, OK,
    wat als de volgorde zo zou zijn.
  77. Dan zou ik zeggen dat de
    initiële condities die hieraan
  78. ten grondslag liggen nog
    altijd een hele smalle band vormen.
  79. En nu voeg ik nog een symbool toe.
  80. De mogelijke initiële condities
    die hieraan ten grondslag liggen,
  81. is nog altijd smal.
  82. Dus binnen de beperking dat
    de reeks symbolen oneindig langer wordt,
  83. worden de mogelijke initiële condities
    die hieraan ten grondslag liggen
  84. oneindig kleiner.
  85. Een andere manier om dit te
    verwoorden, is dat wanneer jij mij
  86. een bepaalde initiële conditie geeft,
  87. de symbolen reeks die daaruit voortkomt,
    uniek is.
  88. Er is één en slechts één symbolenreeks,
    die uit die bepaalde
  89. initiële conditie voortkomt.
  90. Dat is logisch want dit is een
    deterministisch en
  91. dynamisch systeem.
  92. Dus, het belangrijkste kenmerk hier is,
    dat er een 1 op 1 relatie bestaat tussen
  93. de initiële condities en
    reeks aan symbolen.
  94. Dus wanneer je me de oneindig
    lange symbolen reeks verteld,
  95. dan kan daaruit de initiële condities
    halen en wanneer ik die weet
  96. dan heb ik ook meteen alle
    informatie over de omloopbaan.
  97. Dus, de oneindige reeks codeert voor
    de initiële condities en de
  98. initiële condities, in samenhang met
    de dynamica, vertellen ons de
  99. omloopbaan en van daaruit
    kunnen we de kenmerken afleiden.
  100. Wat ik dus wil zeggen, is dat informatie
    in de symbolen reeks gelijk is
  101. aan die van de initiële condities.
  102. Manieren om getallen in
    symbolen om te zetten
  103. die deze kenmerken hebben,
    worden aangeduid als
  104. ´generating partition´.
  105. Ik wil geen formele definitie noteren,
    want dat gaat hier te ver en
  106. dan wordt de notitie nodeloos
    ingewikkeld, maar
  107. een partitie is gewoon, terugkijkend,
    dit stukje hier, dat is
  108. in essentie een partitie.
  109. De omschrijving van de symbolische
    notatie dat verteld hoe
  110. van x naar symbolische notatie
    te gaan, dus L en R.
  111. Dit schema heet de genererende
    partitie mits langere en langere
  112. reeksen coderen voor smallere,
    unieke en niet overlappende
  113. gebieden van initiële omstandigheden.
  114. Niet alle symbolische codeerreeksen
    hebben deze fijne kenmerken.
  115. Wanneer ik had gekozen voor 0.4
    als afscheiding, dus wanneer x < 0.4 was,
  116. dan had ik het L genoemd
    en anders R, dan had het
  117. niet deze specifieke kenmerken gehad.
  118. Dus alleen unieke manieren van
    coderen,
  119. hebben deze mooie kenmerken.
  120. Maar dat wat ik heb beschreven,
    heeft inderdaad de mooie kenmerken.
  121. Alleen wanneer dit van toepassing is,
    is dit waar.
  122. Laat ik wat dingen een beetje
    nauwkeuriger maken:
  123. Mits wij een genererende partitie
    gebruiken.
  124. Dus op voorwaarde dat wij een
    genererende partitie hebben,
  125. dat is zo in dit geval,
  126. dan zijn de kenmerken van de
    omloopbanen en
  127. kenmerken van de symbolen reeks,
    zoals eerder beschreven,
  128. gelijk aan elkaar.
  129. Tenslotte wil ik nog benoemen
    dat de techniek van
  130. symbolische dynamica een
    manier is om dingen
  131. over dynamische systemen
    te bewijzen.
  132. Zoals ik eerder zei, in de
    voorgaande lessen,
  133. dat het grondig bewezen is
    dat wanneer r = 4
  134. de logistische functie
    gevoeligheid voor
  135. initiële condities kent en de
    banen aperiodisch zijn.
  136. Om dit te bewijzen, bij wijze ruwe schets,
  137. zou zijn van het originele systeem
    naar de symbolenreeks in kaart te brengen
  138. en dan de kenmerken
    van die symbolenreeks achterhalen
  139. en dan bewijzen dat die kenmerken,
    mits dit alles van toepassing is,
  140. dat wat je bewijst voor de reeks,
    die makkelijker te hanteren is,
  141. ook geldt voor originele omloopbaan.
  142. Nu wij het idee van symbolische
    dynamica onder de knie hebben,
  143. kunnen we gaan kijken hoe
    de symbolische dynamica
  144. eruitziet wanneer r
    in de logische functie gelijk is aan 4.