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Showing Revision 12 created 03/29/2015 by walucanguro ..

  1. En esta sección introduciré la idea
    de que un sistema dinámico caótico,
  2. cómo la ecuación logística con r=4, es una
    fuente determinística de aleatoriedad.
  3. Para poder hacerlo deberemos pensar
    cuidadosamente acerca de lo que significa
  4. la aleatoriedad:
  5. ¿qué significa cuando decimos que un
    resultado o un proceso es aleatorio?.
  6. Construiré una serie de argumentos
    capa por capa,
  7. ninguno de estos argumentos son
    particularmente técnicos
  8. en el sentido de que no requieren cálculo o
    álgebra,
  9. sIn embargo son ricos conceptualmente
    y un poco abstractos,
  10. pero pienso que terminaremos con
    algunas conclusiones muy interesantes
  11. que serán quiza sorprendentes
    y espero sea divertido pensar en ellas.
  12. Así que comencemos.
  13. Comenzaré por introducir una técnica
    conocida como dinámica simbólica.
  14. La idea detrás de la dinámica simbólica
    es convertir una órbita: una serie de números,
  15. en este caso entre cero y uno,
    en una secuencia de símbolos,
  16. y la manera común de hacerlo es
    la siguiente: si nuestro número a iterar
  17. X es menor que 0.5 lo llamaré L,
    y si X es mayor o tal vez igual que 0.5
  18. lo llamaré R.
  19. Así que estoy visualizando que esto
    estaría en la mitad izquierda
  20. del intervalo unitario y ésto está
    en la mitad derecha.
  21. Los símbolos que utilizas son
    completamente arbitrarios,
  22. podrias utilizar corazones y espadas,
    ó X y Y, ó 0 y 1,
  23. pero yo utilizaré L y R.
  24. Entonces, por ejemplo, supongamos que tenemos
    el siguiente itinerario (órbita).
  25. Bien, aquí están los primeros 4 números
    iterados para la ecuación logística,
  26. de nuevo r=4 y la condición inicial es
    0.613, así que convirtamos
  27. estos en dinámica simbólica. Entonces
    0.613,eso es mayor que 1/2 sería una R,
  28. 0.949 también es mayor que 1/2,
    sería R, 0.194 es menor que 1/2,
  29. menor que 0.5, lo llamaré L,
    0.625, esto es mayor que 1/2,
  30. es una R, esto también es mayor que
    1/2 asi que sería una R.
  31. Entonces la idea es que puedo tomar
    cualquier itinerario, cualquier órbita,
  32. una secuencia de numeros entre 0 y 1,
    y convertir eso en una secuencia de simbolos
  33. RRLRR en este caso.
  34. Entonces, una vez que tenemos una
    secuencia de símbolos
  35. la idea es que podemos estudiar la dinámica
    de la secuencia de símbolos
  36. en lugar de la dinámica de la
    órbita original.
  37. Y en muchos casos uno puede demostrar
    que las propiedades de la órbita original
  38. son las mismas que las propiedades de
    la secuencia de símbolos.
  39. Así que estudiar la secuencia de símbolos
    es igual de bueno que estudiar la órbita original.
  40. Así que dejenme escribir esto.
  41. Entonces: "las propiedades son las mismas
    para la orbita y la secuencia de símbolos".
  42. Cuando digo propiedades, a lo que me
    refiero es digamos a la existencia
  43. de puntos fijos y la estabilidad de los
    ṕuntos fijos.
  44. El sistema dinámico simbólico que
    requiere sólo de los símbolos L y R
  45. tendría la misma cantidad de puntos fijos
    y su estabilidad sería la misma.
  46. Y si la secuencia simbólica, el sis-
    tema dinámico simbólico tuviera
  47. digamos sensibilidad a las condiciones
    iniciales o fuera no periódico
  48. entonces la órbita original, el sistema
    dinámico original la tendría también.
  49. Ahora, esta no es para nada una
    afirmación obvia, porque pareciera
  50. que al pasar a simbolos estoy
    perdiendo una gran cantidad de
  51. información.
  52. Despues de todo, para cualquier número
    que se encontraba entre 0 y 0.5
  53. he decidido simplemente convertirlo en L
    entonces, hacer esto es algo muy tosco.
  54. Hay muchos números una cantidad infinita
    de números entre 0 y 1/2 y yo sólo convertí
  55. todos ellos a L, asi que pareciera que
    estoy perdiendo información, entonces
  56. ¿Cómo pueden estás dos cosas ser lo mismo?
  57. Bueno, resulta que para esta manera
    particular de formar símbolos
  58. uno puede mostrar y argumentar
    lo siguiente
  59. Asi que dejenme hacer esto
    con una especie de ejemplo
  60. supongamos que te muestro una secuencia
    de símbolos RRLRLLR
  61. Entonces luego podría preguntarte
    ¿que condiciones iniciales pudiesen
  62. haber dado lugar a esta secuencia
    particular de símbolos?
  63. y uno puede mostrar , puedes en
    cierta forma inferir hacia atrás
  64. que eso (la secuencia) corresponderia
    a una región bastante angosta de
  65. condiciones iniciales , y por otro lado
    sólo sería una única región conectada
  66. que daría lugar a esto y entonces
    yo podria decir:
  67. bien, ¿que pasaría si la secuencia fuera
    digamos esta?
  68. y luego podrias mostrar que las
    condiciones iniciales posibles
  69. que habrían dado lugar a una orbita
    cuya secuencia de símbolos es esta
  70. sería incluso mas pequeña
  71. y si agrego otro símbolo las posibles
    condiciones iniciales que dan lugar
  72. a esto sería incluso menor y entonces
    en el límite en que la secuencia de símbolos
  73. se vuelve infinitamente larga, las posibles
    condiciones iniciales que darian lugar a ella
  74. se volverian infinitamente acotadas.
  75. Otra forma de decir esto es que
    si me das una condición inicial
  76. específica, la secuencia de símbolos
    que resulta de ella es única,
  77. hay una y sólo una secuencia de símbolos
    que resulta de esa condición inicial,
  78. y eso en cierta forma tiene sentido,
    este es un sistema dinámico determinístico.
  79. Entonces, la característica clave aquí es
    que hay una relación uno a uno entre
  80. condiciones iniciales y secuencias
    de símbolos,
  81. así que si me dices la secuencia de
    símbolos infinitamente larga
  82. yo conocería la condición inicial,
    y si conozco la condición inicial
  83. de un sistema dinámico determinístico,
    eso contiene toda la información
  84. acerca de la órbita.
  85. Asi que la secuencia infinita codifica
    para la condición inicial
  86. y la condición inicial junto con la
    dinámica te dice la órbita
  87. y a partir de ello se pueden obtener
    las propiedades.
  88. Supongo que lo que quiero decir es
    que la información en las secuencias
  89. de símbolos es la misma que la
    información de las condiciones iniciales.
  90. Y las maneras de formar símbolos
    a partir de números, que cumplen esta
  91. propiedad se llaman generadoras, y
    el esquema particular se conoce a veces
  92. como una partición generadora.
  93. No quiero escribir una definición formal
    de esto ,porque pienso que nos
  94. alejará demasiado de lugar y nos
    conducirá a una notación muy
  95. complicada, pero una partición, y
    una partición era simplemente...
  96. volviendo aqui, esto en cierto sentido
    sería la partición, la descripción
  97. de la dinámica simbólica, esto me dice
    como ir de la orbita, las equis,
  98. a los simbolos L y R, este esquema
    se llamará una partición generadora
  99. si secuencias cada vez mas largas
    codifican para regiones cada vez mas
  100. delimitadas, unicas y que no se traslapan
    de condiciones iniciales.
  101. Bien, entonces no todos los esquemas simbólicos
    de codificación tienen esta propiedad,
  102. de hecho si hubiera elegido 0.4
    como el punto de corte,
  103. que si X fuera menor que 0.4 lo llamara L
    y es R en los demas casos,
  104. entonces eso no tendría esta propiedad,
    asi que son sólo particiones especiales,
  105. formas especiales de codificar las que
    cumplen esta agradable propiedad.
  106. Pero la que describí ciertamente
    tiene esta propiedad.
  107. Asi que es sólo cuando éste es el caso
    que esto (las propiedades son las mismas para
    la órbita y la secuencia) es verdad.
  108. Asi que dejenme para hacer las cosas un poco
    mas precisas decir:
  109. "si utilizamos una partición generadora".
  110. Entonces dado que tengamos una partición
    generadora, que sí tenemos en este caso,
  111. las propiedades de la órbita y
    las propiedades de las secuencias
  112. de símbolos son en el sentido
    que he descrito las mismas.
  113. Por último quiero mencionar que ésta
    técnica de dinámica símbolica
  114. es una manera de demostrar cosas
    acerca de los sistemas dinámicas,
  115. dije en las últimas clases que
    se demuestra rigurosamente que cuando
  116. r=4 la ecuación logística tiene sensibilidad
    a las condiciones iniciales y sus orbitas son
  117. no periódicas, la manera en que uno haría
    esta demostración, y esto es sólo un
  118. bosquejo aproximado, sería realizar
    este mapeo (función) desde el sistema
  119. dinámico original a secuencias simbólicas,
    demostrar propiedades de dichas secuencias
  120. y luego si todo ésto se cumple , que
    si sucedería en este caso,
  121. lo que demuestres acerca de la secuencia
    símbolos, con la cual es mas fácil trabajar,
  122. sería verdadero para la órbita también.
  123. En cualquier caso, ahora que tenemos esta
    idea de la dinámica simbólica
  124. veamos como se vé la dinámica simbólica para
    la ecuación logística con r=4.