Grundläggande Trigonometri II

En av de mest populära Khan Academy videor har grundläggande Trigonometri inga undertexter - bidra översätta den till så många språk möjligt!

Låt oss göra fler exempel,

bara så vi se till att vi lär oss trigonometri perfekt.

Så låt oss rita några räta trianglar.

Så låt oss rita några räta trianglar.

och jag vill vara mycket tydlig.

Det sätt som jag har definierat det hittills, detta fungerar bara i rätt trianglar.

Så om du försöker hitta vinklar som inte ingår i rätt trianglar, trig-funktioner

Vi ska se att vi ska behöva konstruera räta trianglar,

men låt oss fokusera bara på räta trianglar för nu.

Så låt oss säga att jag har en triangel,

där anta denna längd här nere är sju,

och låt oss säga längden på denna sida här,

Låt oss säga att det är fyra.

Låt oss räkna ut vad hypotenusan över här kommer att bli.

Så vi vet - Låt oss kalla på hypotenusan, "h"-

Vi vet att h squared kommer att vara lika med sju kvadrat plus fyra kvadrat,

Vi vet att från Pythagoras sats,

att kvadrat på hypotenusan är lika med

torget av summan av kvadraterna för de två andra sidorna.

h squared är lika med sju kvadrat plus fyra kvadrat.

Det är alltså lika med fyrtio-nio plus sexton,

fyrtio-nio plus sexton,

fyrtio nio plus tio är femtio-nio, plus sex är sextiofem.

Det är 65. Så här h squared,

Låt mig skriva: h kvadrat - som är olika nyanser av gult -

så vi har är h i kvadrat är lika med sextiofem.

Gjorde jag den rätten? Fyrtio nio plus tio är femtio nio, plus en annan sex är sextiofem,

eller vi kan säga att h är lika med, om vi tar kvadratroten av båda sidor,

kvadratrot

kvadratroten av sextio fem. Och vi verkligen förenkla inte detta alls.

Detta är tretton.

Detta är samma sak som tretton gånger fem

båda dessa är inte perfekt kvadrater och

de är båda prime så du inte kan förenkla detta mer.

Det är alltså lika med kvadratroten ur sextio fem.

Nu ska vi hitta på trig, låt oss hitta trig-funktioner för denna vinkel upp här.

Låt oss kalla denna vinkel upp theta.

Så när du gör det

du vill alltid skriva ner - åtminstone för mig fungerar det för att skriva ned-

"soh cah toa".

SoH...

.. .soh cah toa. Jag har dessa vaga minnen

av min lärare i trigonometri.

Kanske har jag läst det i någon bok. Jag vet inte - du känner, vissa...

någon typ av indisk prinsessa heter "soh cah toa" eller vad som helst,

men det är en mycket användbar ramsa.

så kan vi tillämpa "soh cah toa".

Låt oss hitta, låt oss säga vi vill hitta cosinus.

Vi vill hitta cosinus för våra vinkel.

Wanna finner vi cosinus för våra vinkel, ni säger: "soh cah toa!"

Så "cah". "Cah" berättar vad man ska göra med cosinus,

"cah" del berättar

att cosinus är intilliggande över hypotenusan.

Cosinus är lika med intilliggande över hypotenusan.

Så låt oss se här theta; vilken sida är intilliggande?

Vi vet att hypotenusan,

Vi vet att att hypotenusan är denna sida här.

Så det inte kan vara den sidan. De bara andra sida som typ av gränsar till det som

inte på hypotenusan, är det fyra.

Så den angränsande sidan här, denna sida är,

Det är bokstavligt talat rätt vid vinkel,

Det är en av de sidor som typ av bildar vinkeln

Det är fyra över på hypotenusan.

På hypotenusan som vi redan vet är kvadratroten ur sextiofem.

Det är alltså fyra över kvadratroten av sextiofem.

Och ibland människor kommer vill du att rationalisera nämnaren vilket innebär

de gillar att ha ett irrationellt tal i nämnaren,

som kvadratroten av sextio fem,

och om de - om du wanna skriva om detta utan ett irrationellt tal i nämnaren,

Du kan multiplicera täljare och nämnare

av kvadratroten av sextiofem.

Detta kommer helt klart inte ändrar numret,

eftersom vi är att multiplicera det med något över sig själv,

så vi att antalet av en.

Som inte ändrar numret, men åtminstone det får bli av irrationellt tal i nämnaren.

Så täljaren blir

fyra gånger kvadratroten av sextiofem,

och nämnaren, kvadratroten av 65 gånger kvadratroten av 65, kommer bara att bli 65.

Vi avskaffa inte irrationellt tal, det finns fortfarande, men det är nu i täljaren.

Nu ska vi göra andra trig-funktioner

eller åtminstone andra kärnan trig funktioner.

Vi lär dig i framtiden att det finns faktiskt ett ton

men de är alla som härrör från dessa.

så låt oss tänka vad tecknet för theta är. Än en gång gå till "soh cah toa".

"soh" berättar vad man ska göra med sinus. Sinus är motsatta över hypotenusan.

Sinus är lika mittemot över hypotenusan.

Sinus är motsatta över hypotenusan.

Vilken sida för denna vinkel är så motsatt?

Vi går bara motsatt det, vad det öppnas, det är motsatta sju

motsatt sida är alltså sju.

Det är just här - som är motsatt sida

och sedan på hypotenusan är det motsatta över hypotenusan.

På hypotenusan är kvadratroten ur sextiofem.

Kvadratroten av sextiofem.

och än en gång om vi ville att rationalisera

Vi kan multiplicera gånger kvadratroten av 65 över kvadratroten av 65

och täljaren, vi kommer att få sju kvadratroten av 65

och i nämnaren kommer vi få bara sextiofem igen.

Nu ska vi göra tangens!

Låt oss göra tangens.

Så om jag ber tangens

av - tangens för theta

återigen gå tillbaka till "soh cah toa".

Toa del berättar vad man ska göra med tangens

Det berättar...

Det berättar att tangens

är lika med mittemot över angränsande

är lika med mittemot över

motsatsen över angränsande

För denna vinkel, vad är motsatsen? Vi har redan räknat ut.

Det är sju. Det öppnas i sju.

Det ligger mittemot sju.

Så det är sju över vilken sida ligger intill.

väl är här fyra intilliggande.

Här fyra ligger intill. Så den intilliggande sidan är fyra.

så det är sju över fyra,

och vi är klar.

Vi tänkte ut alla trig kvoterna för theta. Låt oss göra en annan.

Låt oss göra en annan.

Jag ska göra det lite bit betong för rätt nu vi har sagt,

"Åh, vad är tangens för x, tangens för theta." Låt oss göra det lite mer konkret.

Låt oss säga...

Låt oss säga, låt mig göra en annan Rätvinklig triangel,

Det är en annan Rätvinklig triangel i här.

Allt vi göra med, dessa kommer att vara rätt trianglar.

Låt oss har säga på hypotenusan längden fyra,

Låt oss säga att denna sida här har längd två,

och låt oss säga att denna längd här kommer att bli två gånger kvadratroten av tre.

Vi kan verifiera att det fungerar.

Om du har denna sida squared, så att du har - Låt mig skriva ned - det

två gånger kvadratroten av tre kvadrat

plus två squared, är lika med vad?

Detta är två. Det kommer att vara fyra gånger tre.

fyra gånger tre plus fyra,

och detta kommer att vara lika med tolv plus fyra är lika med sexton

och sexton är verkligen fyra kvadrat. Så detta lika med fyra kvadrat,

det lika fyra kvadrat. Det uppfyller Pythagoras sats

och om du kommer ihåg några av ditt arbete från 30 60 90 trianglar

att du kanske har lärt sig i geometri,

Du kanske känner igen att det är en 30 60 90 triangeln.

Det är här vår rätvinkliga,

-Jag borde ha dragit det av get go att visa att detta är en Rätvinklig triangel -

denna vinkel höger över här är vår trettio graders vinkel

och sedan denna vinkel upp här, denna vinkel upp här är

en 60 graders vinkel,

och det är en trettio sexton nittio eftersom

sidan mittemot de trettio graderna är hälften på hypotenusan

och sedan sidan mittemot 60 grader är en kvadraten av 3 gånger den andra sidan

Det är inte på hypotenusan.

Så att säga, we're not gonna...

Detta är inte tänkt för att vara en översyn av 30 60 90 trianglar även om jag bara gjorde det.

Låt oss faktiskt hitta trig kvoterna för de olika vinklarna.

Så om jag skulle fråga du eller om någon skulle fråga er, vad är...

Vad är sinus för trettio grader?

och kom ihåg 30 grader är en av vinklarna i denna triangel men det skulle gälla

När du har en 30 graders vinkel och du göra med Rätvinklig triangel.

Vi ska ha bredare definitioner i framtiden men om ni säger sinus för trettio grader,

Hej, är denna vinkel höger över här trettio grader så jag kan använda denna Rätvinklig triangel,

och vi måste bara komma ihåg "soh cah toa"

Vi skriva om den. SoH, cah, toa.

"sine berättar" (korrigering). SoH säger oss vad till sinus. sinus är motsatta över hypotenusan.

sinus för trettio grader är den motsatta sidan,

Det är den motsatta sidan som är två över på hypotenusan.

På hypotenusan här är fyra.

Det är två fjärdedelar som är samma sak som hälften.

sinus för trettio grader ser du alltid kommer att vara lika med hälften.

Vad är nu cosinus?

Vad är cosinus för trettio grader?

Återigen gå tillbaka till "soh cah toa".

Cah berättar vad man ska göra med cosinus.

Cosinus är intilliggande över hypotenusan.

Så titta på trettio graders vinkel är det den intilliggande.

Detta är rätt över här intilliggande. Det är rätt bredvid.

Det är inte på hypotenusan. Det är den intilliggande över på hypotenusan.

så det är två square rötter av tre

intilliggande över... över på hypotenusan, över fyra.

eller om vi förenklar att vi dela täljaren och nämnaren med två

Det är kvadratroten ur tre över två.

Slutligen, låt oss göra tangens.

Tangens för trettio grader,

Vi går tillbaka till "soh cah toa".

SoH cah toa

TOA berättar vad man ska göra med tangens. Det är motsatta över angränsande

du går till 30 graders vinkel eftersom det är vad vi bryr oss om, tangerande 30.

tangens för trettio. Motsatsen är två,

mittemot är två och den intilliggande är två square rötter av tre.

Det är rätt bredvid. Det angränsar till det.

intilliggande innebär bredvid.

så två square rötter av tre

... är detta lika med avbryta de parvisa objekt

en över kvadratroten av tre

eller vi kan multiplicera täljare och nämnare med kvadratroten av tre.

Så vi har kvadratroten av tre över kvadratroten av tre

och så detta kommer att vara lika med täljaren kvadratroten av tre och sedan

nämnaren rätt över här kommer bara att bli tre.

Så att vi har rationaliserad en kvadratrot tre över tre.

Tillräckligt rättvis.

Nu kan använda samma triangeln för att räkna ut trig kvoterna för de 60 graderna,

eftersom vi har redan ritat den.

så vad is... Vad är sinus för 60 grader?

och jag tror att du förhoppningsvis får en introduktion till det nu.

Sinus är motsatta över angränsande. SoH från "soh cah toa".

de sextio graden vinkel i vilken sida är motsatta?

Vad öppnas i två square rötterna till tre,

så den motsatta sidan är två square rötter av tre,

och från den sextio graden vinkel adj-oh sorry

dess motsatsen över hypotenusan, vill inte blanda ihop du.

så det är motsatta över hypotenusan

Det är alltså två square rötter tre över fyra. fyra är på hypotenusan.

så det är lika, förenklar detta till kvadratroten av tre över två.

Vad är cosinus för 60 grader? cosinus för 60 grader.

så minns "soh cah toa". cosinus är intilliggande över hypotenusan.

intill ligger två sidorna, direkt vid 60 graders vinkel.

Det är alltså två över på hypotenusan är fyra.

Så detta är lika med hälften

och slutligen, vad är tangens?

Vad är tangens för 60 grader?

Väl tangerande, "soh cah toa". Tangens är motsatta över angränsande

mittemot de 60 graderna

är två square rötter av tre

två torg rötter av tre

och intill den

intill som är två.

Angränsande till 60 grader är två.

Så rötter dess motsatta över angränsande, två torg tre över två

som är precis lika kvadratroten av tre.

Och jag ville bara - ser hur dessa hör-

sinus för trettio grader är samma som cosinus för 60 grader.

Cosinus för 30 grader är samma sak som sinus av 60 grader

och sedan dessa killar är inversen av varandra

och jag tror att om du tycker lite om denna triangel

Det kommer att börja vettigt varför.

Vi ska hålla utvidga detta och

ger dig mycket mer praxis i nästa några videor.