НАЗВАНИЕ: Основы Тригонометрии II

One of the most popular Khan Academy videos, Basic Trigonometry doesn't have any subtitles - help translate it into as many languages possible!

Давайте сделаем ещё кучу примеров, для того чтобы удостовериться, что мы полностью и хорошо освоили

эту тригонометрическую премудрость.

Так что давайте построим самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники.

Постройте самостоятельно какие-нибудь прямоугольные треугольники, и я очень хочу чтобы вам было ясно, способ, которым я это пока определил,

будет работать только в прямоугольных треугольниках, если мы хотим найти

тригонометрические функции углов, которые не являются углами прямоугольного треугольника, нам следует посмотреть что нам нужно

иметь для построения прямоугольных треугольников, но давайте пока сосредоточимся на прямоугольных треугольниках.

Допустим, у меня есть треугольник, у которого длина вот этой стороны равна 7.

И скажем, длина вот этой стороны... скажем, это 4.

Давайте выясним, чему будет равна гипотенуза.Так мы знаем...

давайте назовём гипотенузу h.

Мы знаем, что h² будет равно 7² + 4². Мы знаем это

из теоремы Пифагора...

что квадрат гипотенузы равен

сумме квадратов катетов,

двух других его сторон . h² = 7² + 4²,

Таким образом это равно сорок девять

сорок девять плюс шестнадцать,

сорок девять плюс десять будет пятьдесят девять, плюс шесть это

шестьдесят пять.То есть h в квадрате -это шестьдесят пять.

давайте я запишу… h в квадрате…

это другой оттенок жёлтого. Таким образом мы имеем, h в квадрате равно

шестьдесят пять. Сделал ли я это правильно? 49 плюс 10 - это 59, плюс ещё 6 -

это 65. Или мы можем сказать, что h равна, если мы извлечем квадратные корни с

квадратный корень

квадратный корень из шестидесяти пяти. И мы никак не можем это упростить все.

это ведь тринадцать

это тоже самое, что тринадцать на пять. Каждое из них не является квадратом целого числа и

они оба простые числа, поэтому мы не можем упростить это как-нибудь еще.

Таким образом это равно квадратному корню

Теперь давайте найдем значения тригонометрических функций, давайте найдем значения тригонометрических функций вот этого верхнего угла. Давайте назовём его θ.

Итак, как бы вы это не делали,

вам всегда стоит записать… по крайней мере, мне помогает,

если перед глазами записано - SOH CAH TOA.

soh ...

...soh cah toa. У меня сохранились смутные воспоминания

о моем

учителе по тригонометрии…А может, я прочитал это в какой-то книге. Я не знаю,знаете вы что-нибудь о

какой-то индийской принцессе по имени "Soh cah toa", или нет, но это очень полезная

мнемоника, такая что мы сможем пользоваться этой "soh cah toa". Давайте найдем...

скажем, мы хотим найти косинус. Мы хотим найти косинус нашего угла.

мы хотим найти косинус нашего угла, вы произносите:
"soh cah toa!"

"cah" говорит нам о том, как найти косинус.

Слог "cah" говорит нам

о том, что косинус(cosine) - это отношение прилежащего катета(adjacent) к гипотенузе(hypotenuse).

Т.е. косинус равен прилежащему катету,

Посмотрим сюда. Какая сторона является прилежащей к углу θ?

Ну, мы знаем, что гипотенуза - это вот эта сторона.

мы знаем, что гипотенуза этой стороны здесь

Поэтому она не подходит. Другая сторона, которая прилежит к этому углу,

и не является гипотенузой -

это вот эта сторона 4. Прилежащий катет вот здесь…

находится рядом с углом. Это одна из сторон, которая как бы формирует угол.

Это 4

Мы уже знаем, что гипотенуза равна √65. Таким образом это будет 4

деленное

Иногда от вас требуют избавиться от иррациональности в знаменателе, это значит, что нежелательно

иметь в знаменателе иррациональное число, как, например, √65.

И если бы вы хотели записать это без иррационального

числа в знаменателе, то могли бы умножить числитель и знаменатель

на √65.

Это не изменит число, так как мы умножаем на число, разделенное само на себя,

т.е. умножаем на 1, но, по крайней мере, это избавит нас от

иррациональности в знаменателе.

Числитель становится равен 4√65,

а в знаменателе √65 • √65, и это будет просто 65.

Мы не избавились от иррационального числа, оно ещё здесь, но теперь оно в числителе.

Давайте теперь рассмотрим другие тригонометрические функции.

По крайней мере, основные тригонометрические функции. В будущем мы выясним, что их на самом деле

очень много, но они все выведены из основных

функций. Давайте подумаем, чему равен sin θ.Опять же, обратимся к SOH CAH TOA.

SOH говорит нам о том, как найти синус.

Синус(Sine) - это

отношение противолежащего катета(opposite) к гипотенузе(hypotenuse).Т.е. синус равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.

Итак, для этого угла какой катет является противолежащим?

Он находится напротив стороны 7.

Так, противолежащий катет равен 7.

Это противолежащий катет.

И гипотенуза равна √65.

И опять же, если бы мы хотели избавиться от

это на √65, деленный на √65.

на квадратный корень из шестидесяти пяти

В числителе мы получим 7√65. А в знаменателе получим просто 65.

шестьдесят пять раз.

Теперь давайте найдём тангенс.

Если бы я спросил вас о тангенсе θ…

Так что, если я задать вам касательной

Опять же обратитесь к SOH CAH TOA.

еще раз вернуться к SOH CAH

Часть "ТОА" говорит нам о том, как найти тангенс.

Она говорит нам,

Она говорит нам, что тангенс

равен противолежащему катету деленному на прилежащий, равен противолежащему.

деленному на..

противолежащему на прилежащий

Так вот для этого угла,

что является противолежащим, мы уже выяснили. Это 7. Угол раскрывается навстречу
7 -

лежит напротив 7.

Поэтому это 7 разделить на...

Это катет длиной 4 - прилежащий.

Прилежащий катет - это 4.

Поэтому это семь

и мы все сделали!

Мы нашли значения всех тригонометрических функций для угла θ.

Давайте сделаем ещё один пример. Я сделаю немного более конкретный пример. До сих пор мы говорили:

Чему равен tan x? Чему равен tan θ? Давайте сделаем это немного более конкретным

Скажем... .

Скажем..,давайте я нарисую ещё один прямоугольный треугольник.

Ещё один прямоугольный треугольник, вот здесь...

Сейчас мы имеем дело только с

Скажем, гипотенуза

имеет длину четыре

И скажем, что длина вот этой стороны равна 2√3.

Проверим, что это подходит.

Если эту сторону возвести в квадрат… Давайте я напишу это внизу внизу. Два умноженное на корень квадратный

из трех в квадрате

плюс два в квадрате равно…

вот этому

четыре раза по три плюс четыре

И это будет равно 12 + 4, что равно 16.

А 16 - это действительно 4².

Значит, теорема Пифагора здесь соблюдается.

И, если вы помните ваши упражнения с треугольниками с
углами в 30, 60 и 90 градусов, которые вы, возможно,

прошли на уроках геометрии, вы можете узнать, что это

треугольник с углами в 30, 60 и 90 градусов. Это вот наш прямой угол.

Мне следовало отметить его раньше, чтобы показать, что это прямоугольный треугольник.

Этот угол - это наш угол в 30°.

И этот угол наверху - это угол в 60°.

шестьдесят градусов угол

И углы равны 30, 60 и 90 градусам, потому что

катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

А катет, противолежащий углу 60°, равен √3 умножить на

другую сторону, не гипотенузу.

Мы не собирались устраивать повторение треугольников с углами в 30, 60 и 90 градусов,

Давайте же найдём значения тригонометрических функций для разных углов.

Если бы я у вас спросил,

Чему равен sin 30°?

И помните, что в этом треугольнике один из углов равен 30°, но значение sin 30°

подошло бы в любой ситуации, если у вас есть угол
30° и вы имеете дело с прямоугольным треугольником.

В будущем нам встретятся более широкие определения, но если говорить о sin 30°…

Эй!.. Вот этот угол равен 30°. Поэтому я мог бы использовать этот прямоугольный

треугольник… и нам просто нужно помнить SOH CAH TOA.

Давайте я запишу это ещё раз. SOH

SOH говорит нам о том, как найти синус, синус - это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.

Sin 30° - это противолежащий катет…

это противолежащий катет, который равен 2,

деленный на гипотенузу, гипотенуза здесь - это 4.

Это 2/4, или 1/2.

Вы увидите, что sin 30° всегда будет равен 1/2.

Теперь чему равен косинус,

то, что косинус

Опять же вернитесь к SOH CAH TOA:

CAH говорит нам о том, как найти косинус. Косинус - это
прилежащий катет, деленный на гипотенузу.

Если мы рассматриваем угол в 30°, то вот это – прилежащая сторона,

прямо рядом с ним, и при этом не гипотенуза.

это не гипотенузы

Это будет равно отношению прилежащего катета к гипотенузе.

разделить на гипотенузу,

Или если мы упростим это, разделив числитель
и знаменатель на 2,

получится √3/2.

Наконец, давайте найдем тангенс.

Тангенс тридцать градусов

Мы возвращаемся к SOH CAH TOA.

SOH CAH тоа

SOH CAH TOA... TOA говорит нам о том, как найти тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Мы идём к углу в 30°, потому что интересуемся именно им.
Противолежащий - это 2.

Тангенс 30°..

Противолежащий катет равен 2. А прилежащий - это 2√3.

Он находится прямо рядом с углом - прилежащий катет.

Прилежащий - значит, тот, который находится рядом.

Итак, 2√3.

Значит, это равно...

Двойки сокращаются… 1 разделить на √3.

Мы можем умножить числитель и знаменатель на √3..

Т.е. умножить на √3, деленный на √3.

Это будет равно… В числителе √3, а в знаменателе будет 3.

Мы избавились от корня квадратного из три

Хорошо.

Давайте теперь используем тот же треугольник, чтобы
найти тригонометрические соотношения для угла в 60°,

так как мы его уже нарисовали.

Итак

... чему равен sin 60°? я думаю, что вы, несомненно, приобретете навык вычисления этого сейчас

Синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, согласно SOH CAH TOA. Для угла в 60° какой катет

является противолежащим?

Угол раскрывается навстречу стороне 2√3. Противолежащий катет равен 2√3.

И для угла в 60° прилежащий катет... Ой, прошу прощения,

это противолежащий катет, деленный на ГИПОТЕНУЗУ, не хотел вас запутать…

Итак, это противолежащий катет, деленный на гипотенузу.

Или 2√3 разделить на 4. 4 - это гипотенуза.

И это равно, если сократить, √3/2.

Чему равен cos 60°? cos 60°…

Помните SOH CAH TOA. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Прилежащий катет - это сторона, равная 2, прямо рядом с углом в 60°.

Итак, это равно 2 разделить на гипотенузу, которая равна 4.

Т. е. это равно 1/2.

И, наконец...

Чему равен тангенс?

Ну, тангенс. SOH CAH TOA. Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

противолежащий углу в 60°.

это 2√3

2√3,

и прилежащий к этому

прилежащий к этому

Катет, прилежащий к углу в 60° -это 2.

Это противолежащий катет, деленный на прилежащий.

2√3 разделить на 2, что просто равно

И я только хотел обратить ваше внимание- посмотрите какие здесь соотношение

синус 30° - это то же самое, что и косинус 60°.
Косинус 30° - это то же самое, что и синус 60°.

А вот эти два парня(тангенс 60 и тангенс 30) - взаимно обратны и , я думаю, если вы немного подумаете об этом треугольнике,

вам станет ясно почему это так. Мы подробнее всё это рассмотрим и предоставим вам возможность еще попрактиковаться

в следующих видеоуроках.

CAH

TOA

Какой катет является прилежащим?

Квадратный корень из трех

Т. е. это 2 √3 (прилежащий катет)

Тангенс 30°...

Это будет равно равно четыре раза по три

деленное на гипотенузу.

деленное на четыре

деленному на гипотенузу.

до половины

за гипотенузу в течение четырех

за квадратный корень из трех

из шестидесяти пяти.

или кто-либо ещё спросил бы у вас:

имеет длину два

иррациональности в знаменателе, то могли бы умножить

квадратному корню из трех

на квадратный корень из шестидесяти пяти.

обеих сторон,

плюс шестнадцать,

половины

прямоугольными треугольниками.

скажем, что эта сторона здесь

т. е. разделить на 4.

тридцать градусов

хотя я только что это сделал…

чему равен cos 30°?

шестидесяти градусов

это 2