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← Trigonometria Básica II

Um dos vídeos mais populares da Khan Academy - Trigonometria básica - finalmente legendado!

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Subtitles translated from English Showing Revision 5 created 07/20/2012 by Eduardo Passeto.

  1. Vamos fazer mais um bocado de exemplos,

  2. para ter certeza que entenderemos bem essa coisa de Função Trigonométrica.
  3. Então vamos construir alguns triângulos de angulo reto.
  4. Vamos construir os triângulos
  5. e eu quero deixar isso claro.
  6. A maneira como eu defini até agora, só funcionará em triângulos retângulos.
  7. então se você estiver tentando encontrar a função trigonométrica de ângulos que não fazem parte de triângulos retângulos,
  8. veremos que teremos que construir primeiro triângulos retângulos,
  9. mas por hora foquemos nos triângulos retângulos.
  10. Digamos que eu tenha um triângulo,
  11. onde essa distância aqui seja 7
  12. e digamos que essa outra distância aqui,
  13. digamos que seja 4.
  14. Vamos descobrir qual será a hipotenusa aqui.
  15. Então sabemos - chamaremos a hipotenusa de "h" -
  16. sabemos que h ao quadrado será igual 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado,
  17. sabemos isso pelo Teorema de Pitágoras,
  18. que o quadrado da hipotenusa é igual à
  19. soma dos quadrados dos valores dos outros dois lados.
  20. h ao quadrado é igual a 7 ao quadrado mais 4 ao quadrado.
  21. Então o resultado é 49,
  22. 49 mais 16,
  23. 49 mais 10 é 59, mais 6 é 65.
  24. Então h ao quadrado é 65,
  25. deixe eu escrever: h ao quadrado - esse amarelo é diferente -
  26. então temos h ao quadrado é igual a 65.
  27. Fiz certo? 49 mais 10 é 59, mais 6 é 65,
  28. ou poderíamos dizer que h é igual a, se tirarmos a raiz quadrada
  29. dos dois lados,
  30. raiz quadrada de 65. E não podemos simplificar mais do que isso
  31. Aqui é 13.
  32. É a mesma coisa de 13 vezes 5,
  33. ambos não tem raízes perfeitas e
  34. ambos são primos, por isso não dá pra simplificar mais do que isso.
  35. Então isso é igual à raíz quadrada de 65.
  36. Agora, vamos encontrar a função trigonométrica desse ângulo aqui em cima.
  37. Vamos chamar esse ângulo de Theta.
  38. Quando você for calcular
  39. sempre anote tudo - para mim sempre dá certo quando faço anotações -
  40. "Soh cah toa"
  41. Soh...
  42. ...soh cah toa. Eu tenho memórias vagas
  43. do meu professor de trigonometria.
  44. Ou talvez eu tenha lido em algum livro, não sei - algo... sobre
  45. algum tipo de princesa indiana chamada "Soh cah toa" ou algo assim,
  46. mas é uma mnemônica muito útil,
  47. então podemos aplicar "soh cah toa".
  48. Vamos encontrar por exemplo o Cosseno.
  49. Queremos encontrar o Cosseno do nosso ângulo.
  50. para encotrar o Cosseno do ângulo, você diz: "soh cah toa!"
  51. Então o "cah". "Cah" nos mostra o que fazer com o Cosaeno,
  52. o "cah" nos diz
  53. que o Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
  54. Cosseno significa cateto adjacente sobre hipotenusa.
  55. Então olhemos Theta; qual lado é o adjacente?
  56. Bem, sabemos que a hipotenusa,
  57. sabemos que a hipotenusa é esse lado aqui.
  58. Então não pode ser aquele lado. O único outro lado que é adjacente é o que
  59. não é a hipotenusa, é este 4.
  60. E o outro lado adjacente, esse lado está,
  61. literalmente junto ao ângulo,
  62. é um dos lados que forma o ângulo,
  63. é 4 sobre a hipotenusa.
  64. Já sabemos que a hipotenusa é a raiz quadrada de 65,
  65. então faremos 4 sobre a raiz quadrada de 65.
  66. E algumas vezes você terá que racionalizar o denominador, o que significa
  67. que eles não gostam de ter um número irracional no denominador,
    como a raíz quadrada de 65
  68. como a raiz quadrada de 65,
  69. e se eles - e caso você queira reescrever isso sem o número irracional no denominador,
  70. você pode multiplicar o numerador e o denominador
  71. pela raiz quadrada de 65.
  72. Certamente isso não alterará o número,
  73. pois o multiplicaremos por algo sobre si mesmo,
  74. então estamos multiplicando o número por 1.
  75. Isso não mudará o número, mas pelo menos eliminará o o número irracional do denominador.
  76. Então o numerador recebe
  77. 4 vezes a raiz quadrada de 65.
  78. e o denominador, raiz quadrada de 65 vezes raiz quadrada de 65, que será apenas 65.
  79. Nós não nos livramos do número irracional, ele ainda está aí, só que agora no mumerador.
  80. Agora vamos fazer outras funcões trignométricas
  81. os tipos principais de funções.
  82. Aprenderemos no futuro que existem várias delas
  83. mas todas se derivam dessas.
  84. então vejamos o que é o Theta. Mais uma vez diga "soh cah toa".
  85. O "soh" mostra o que fazer com o Seno.
  86. Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
  87. Seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa.
  88. Então para esse ângulo, qual lado é o seu oposto?
  89. Apenas seguimos oposto a ele, pra onde ele abre, e o seu oposto é o 7
  90. entao, o seu lado oposto é o 7.
  91. Isso aqui - que é o lado oposto
  92. e entao na hipotenusa, é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
  93. A hipotenusa é a raiz quadrada de 65.
  94. Raiz quadrada de 65.
  95. e mais uma vez se quisermos racionalizar isso,
  96. podemos multiplicar pela raíz quadrada de 65 sobre a raiz quadrada de 65
  97. e o numerador, será 7 raiz quadrada de 65
  98. e no denominador teremos apenas 65 novamente.
  99. Agora faremos a Tangente!
  100. Vamos fazer a Tangente.
  101. Entao, se eu te perguntar a Tangente
  102. de - a Tangente de Theta
  103. mais uma vez repita "soh cah toa".
  104. O "toa" nos mostra como fazer a Tangente
  105. nos diz...
  106. Nos diz que a Tangente
  107. é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente.
  108. É igual ao oposto sobre...
  109. O oposto sobre o adjacente.
  110. Então para esse ângulo, o que é o oposto? Isso nós já descobrimos.
  111. É o 7. Pois abre pro 7.
  112. Ele está oposto ao 7.
  113. Então é 7 sobre o lado que é adjacente.
  114. Bem, esse 4 é adjacente.
  115. Esse 4 é adjacente. Então o lado adjacente é 4.
  116. Então isso é 7 sobre 4,
  117. e nós terminamos.
  118. Descobrimos todos os tipos de relações trigonométricas para o Theta. Vamos fazer mais um.
  119. Vamos fazer mais um.
  120. Vou fazer esse um pouco mais concreto porque até agora só falamos sobre,
  121. "Oh, Tangente de x, Tangente de Theta." Vamos fazer um exemplo mais concreto.
    mais concreto
  122. Digamos assim...
  123. Digamos, deixe-me desenhar outro triângulo retângulo,
  124. eis aqui outro triângulo retângulo bem aqui.
  125. Em tudo o que estamos fazendo, tudo isso está sendo em triângulos retângulos.
  126. Digamos que a Hipotenusa tem 4 de comprimento,
  127. e digamos que esse comprimento aqui seja de 2,
  128. e digamos que este comprimento bem aqui vá ser 2 vezes a raiz quadrada de 3.
  129. Podemos verificar que isso funciona.
  130. Se você elevar esse lado ao quadrado, então você terá - .deixe-me escrever isso -
  131. 2 vezes a raiz quadrada de 3 ao quadrado
  132. mais 2 ao quadrado é igual a quê?
  133. Isto é um 2. Isso irá ser 4 vezes 3.
  134. 4 vezes 3 mais 4,
  135. que vai dar 12 mais 4, que é igual a 16.
  136. E 16 é na verdade 4 ao quadrado. Então isso resulta em 4 ao quadrado,
  137. que é igual a quatro ao quadrado. E satisfaz o Teorema de Pitágoras
  138. e se você se lembrar, alguns dos seus exercícios sobre os triângulos de ângulos 30, 60 e 90 graus
  139. que você deve ter aprendido em Geometria,
  140. você reconhecerá que esse é um triângulo com ângulos de 30, 60 e 90 graus.
  141. E esse aqui é o nosso ângulo reto.
  142. - eu deveria ter marcado desde o começo para mostrar que este é um triângulo retângulo -
  143. este ângulo aqui é o nosso ângulo de 30 graus
  144. e esse aqui em cima, esse ângulo aqui é
  145. o ângulo de 60 graus,
  146. e ele é o 30-60-90 porquê
  147. o Cateto oposto ao ângulo de 30 é a metade da Hipotenusa
  148. e o lado oposto ao ângulo de 60 é a raiz de 3 vezes o outro lado
  149. que não é a Hipotenusa.
  150. Então assim, nós não iríamos...
  151. Não era pra eu fazer uma revisão dos triângulos de 30, 60 e 90 graus.
  152. Vamos encontrar os valores trigonométricos para ângulos diferentes.
  153. Então se eu te pergunto, ou alguém vai lhe perguntar, qual é...
  154. Qual é o Seno de 30 graus?
  155. E lembrando que 30 graus é um dos ângulos desse triângulo, mas você aplicaria
  156. em qualquer lugar onde houvesse um ângulo de 30 graus e que você está lidando como triângulos retângulos.
  157. Iremos ter definições mais amplas no futuro, mas se você disser Seno de 30 graus,
  158. ei, esse ângulo aqui tem 30 graus, então vou fazer uso da técnica do triângulo retângulo,
  159. e nós nos lembramos do "Soh cah toa"
  160. Vamos reescrever isso. "Soh cah toa".
  161. "Seno nos diz" (correção). Soh nos diz o que fazer com o Seno. Seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
  162. Seno de 30 graus é o cateto oposto,
  163. este é o cateto oposto que é 2 sobre a hipotenusa.
  164. A hipotenusa aqui é quatro.
  165. Que é 2 sobre 4, que é o mesmo que 1 sobre 2, ou 1/2.
  166. Seno de 30 será sempre igual a 1/2.
  167. Agora qual é o Cosseno?
  168. Qual é o Cosseno de 30 graus?
  169. Mais uma vez use "Soh cah toa".
  170. O "cah" nos diz o que fazer com o Cosseno.
  171. Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
  172. Então olhando para o ângulo de 30 graus é o adjacente.
  173. Este, bem aqui é o cateto adjacente. Está bem aqui o adjacente está junto dele.
  174. Ele não é a hipotenusa. É o adjacente sobre a hipotenusa.
  175. Então é 2 raiz quadrada de 3...
  176. Adjacente sobre... Sobre a Hipotrenusa, sobre 4.
  177. E se simplificarmos e dividirmos o numerador e o denominador por 2,
  178. teremos a raiz quadrada de 3 sobre 2.
  179. E por fim, vamos fazer a Tangente.
  180. A Tangente de 30 graus,
  181. de novo ao "Soh cah toa".
  182. "Soh cah toa"
  183. "toa" nos diz como fazer com a Tangente. É o oposto sobre o adjacente.
  184. Você vai para o ângulo de 30 graus porque é o que necessitamos, Tangente de 30.
  185. Tangente de 30 graus. O oposto é 2,
  186. o oposto é 2 o adjacente é 2 raiz quadrada de 3.
  187. é o bem perto, junto a ele. É o adjacente a ele.
  188. Adjacente significa "perto de".
  189. Então 2 raiz quadrada de 3...
  190. É igual a... Os 2s se cancelam...
  191. 1 sobre raiz quadrada de 3
  192. ou podemos multiplicar o numerador e o denominador pela raiz quadrada de 3.
  193. Então teremos raiz quadrada de 3 sobre raiz quadrada de 3
  194. que será igual ao numerador raiz quadrada de 3 e então
  195. o denominador bem aqui irá ser 3.
  196. Então nós racionalizamos a raiz quadrada de 3 sobre 3.
  197. Muito bem.
  198. Agora vams usar o mesmo triângulo para descobrir os valores para o ângulo de 60 graus,
  199. que já está desenhado.
  200. Então qual é... Qual é o Seno de 60 graus?
  201. e eu espero que você esteja começando a entender agora.
  202. Seno é o cateto oposto sobre o adjacente. "Soh" do "Soh cah toa".
  203. Qual lado é o cateto oposto para o ângulo de 60 graus?
  204. Qual abre para o 2 raiz quadrada de 3,
  205. então o oposto é 2 raiz quadrada de 3,
  206. e para o ângulo de 60 graus o cateto adj... Ah, desculpe-me!
  207. É o oposto sobre a hipotenusa. Eu não quero te confundir.
  208. Então é o cateto oposto sobre a hipotenusa.
  209. Então fica 2 raiz quadrada de 3 sobre 4. 4 é a hipotenusa.
  210. E o resultado é, simplicando, raiz quadrada de 3 sobre 2.
  211. Qual o Cosseno de 60 graus? Cosseno de 60 graus.
  212. Lembre-se de "Soh cah toa". Cosseno é o cateto adjacente sobre a hipotenusa.
  213. adjacentes são os dois lados, bem perto do ângulo de 60 graus.
  214. Então isso é 2 sobre a hipotenusa que é 4.
  215. Então isso é igual a 1/2.
  216. E finalmente, qual é a Tangente?
  217. Qual a Tangente de 60 graus?
  218. Bem, Tangente, "Soh cah toa". Tangente é o cateto oposto sobre o adjacente.
  219. O oposto ao ângulo de 60 graus
  220. é 2 raíz quadrada de 3
  221. 2 raiz quadrada de 3
  222. e o adjacente a isso.
  223. Adjacente que é 2.
  224. O adjacente ao ângulo de 60 graus é 2.
  225. Então, o oposto sobre cateto adjacente, 2 raiz quadrada de 3 sobre 2,
  226. que é igual a raiz quadrada de 3.
  227. Veja como eles se relacionam!
  228. O Seno de 30 é igual ao Cosseno de 60 graus!
  229. O Cosesno de 30 graus é igual ao Seno de 60!
  230. E esses caras aqui são o inverso um do outro!
  231. Se você pensar um pouco sobre esse triângulo
  232. tudo começa a fazer sentido.
  233. Amprofundaremos no assunto
  234. e praticaremos um pouco mais nos próximos vídeos.