Základy Trigonometrie II

Jedno z nejpupulárnějších videí Khan Academy, Základy Trigonometrie II.

Zkusme více příkladů

pro lepší pochopení
trigonometrických funkcí.

Takže, zkonstruujeme
několik pravoúhlých trojúhelníků.

a chci aby bylo jasné,

že základní trigonometrické funkce platí
jen pro pravoúhlé trojúhelníky.

Takže pokud je budete chtít využít
u obecných trojúhelníků,

uvidíte, že v nich stejně budete
muset najít pravoúhlé trojúhelníky,

ale nyní se soustřeďme na pravoúhlé.

Řekněme, že mám trojúhelník,

ve kterém tato strana je dlouhá 7,

a délka této strany

nechť je 4.

A nyní zkusme určit délku přepony.

Takže, přeponu si označíme "h".

h na druhou se rovná
7 na druhou plus 4 na druhou.

Říká nám to Pythagorova věta,

že délka přepony na druhou se rovná

součtu druhých mocnin obou odvěsen.

h na druhou se rovná
7 na druhou plus 4 na druhou.

Takže toto se rovná
49 plus 16,

49 plus 10 je 59
plus 6 je 65.

takže h na druhou je 65,

..napíši to jiným odstínem žluté..

takže h na druhou se rovná 65.

Mám to správně?
49 plus 10 je 59, plus dalších 6 je 65

takže h se rovná, obě strany odmocníme,

druhá odmocnina ze 65.

Toto už nemůžeme dále zjednodušit.

Tohle je totéž jako 13 krát 5,

ani jedna strana není
celočíselně odmocnitelná

obojí jsou prvočísla,
takže dál už to nelze zjednodušit.

Takže toto se rovná
druhé odmocnině z 65.

A nyní určíme
trigonometrické funkce tohoto úhlu.

Označme si tento úhel Théta.

Vždy,
když používáte trigonometrii

můžete si poznamenat..
alespoň já to tak dělám..

soh cah toa

Matně si vzpomínám
na svého učitele trigonometrie.

Možná jsem to viděl v nějaké knize.
Nevím, znáte to?

Jedna indická princezna se jmenovala
"soh cah toa", nebo tak něco...

Ale jde o velmi užitečnou
mnemotechnickou pomůcku

takže použijeme "soh cah toa".

Zkusme například určit kosinus.

Chceme zjistit kosinus našeho úhlu.

řeknete si "soh cah toa".

"Cah" nám říká jak spočítat kosinus,

říká,
že kosinus je přilehlá proti přeponě.

(pozn., Adjacent - přilehlá,
Hypotenuse - přepona)

Kosinus se rovná přilehlé ku přeponě.

Takže se podívejme na úhel Théta;
která strana je přilehlá?

Víme, že přepona přepona
je tato strana zde.

Takže ta to být nemůže.
Jediná další strana, která přiléhá a

není to přepona, je tato dlouhá 4.

Takže hledaná přilehlá strana

doslova přiléhá k danému úhlu,

je to jedna ze stran, které určují úhel

takže to je 4 ku přeponě.

Již víme, že přepona
je odmocnina z 65.

takže je to 4 lomeno
odmocninou ze 65.

Občas lidé rádi zjednodušují zlomky

tak, aby neměli
iracionální číslo ve jmenovateli

jako třeba odmocninu z 65.

Pokud to chcete upravit, tak aby
nebylo ve jmenovateli iracionální číslo,

můžete vynásobit čitatele
i jmenovatele zlomku

odmocninou ze 65.

To samozřejmě neovlivní výsledek,

protože násobíme něčím,
co vydělíme samo sebou,

takže vlastně násobíme číslem jedna.

To nezmění výsledek, ale alespoň už nemáme
iracionální číslo ve jmenovateli.

Takže čitatel bude

4 krát odmocnina z 65,

a jmenovatel, odmocnina z 65
krát odmocnina z 65, to je 65.

Nyní je iracionální číslo v čitateli.
Takže jsme se ho nezbavili úplně.

Nyní se podívejme
na ostatní trigonometrické funkce

nebo alespoň ty základní.

Později se naučíme,
že jich existuje víc,

ale všechny jsou
odvozené z těchto základních.

Podívejme se nyní na sinus Théta.
Opět použijeme "soh cah toa".

"soh" nám říká co udělat s funkcí sinus.
Sinus je protilehlá ku přeponě.

(pozn. Opposite - protilehlá)

Sinus se rovná protilehlé ku přeponě.

Takže, která strana je
protilehlá k tomuto úhlu?

Je to ta naproti, ke které se
úhel otevírá, protilehlá je sedm.

To je zde, toto je protilehlá strana
a k tomu přepona.

Je to protilehlá ku přeponě.

Přepona je odmocnina z 65.

Druhá odmocnina z 65.

A opět, pokud bychom
to chtěli zjednodušit,

mohli bychom vynásobit odmocninou
z 65 ku odmocnině z 65.

V čitateli dostaneme
7 krát odmocnina z 65

a ve jmenovateli bude opět 65.

Nyní zkusme tangens

Spočítáme tangens.

Takže pokud se zeptám na tangens

tangens úhlu théta

opět použijeme pomůcku "soh cah toa".

toa nám říká, jak určit tangens.

Říká nám to, že tangens

se rovná protilehlé ku přilehlé.

Která strana je protilehlá k tomuto úhlu?
To jsme si již řekli.

Je to 7.
Úhel se otevírá ke straně dlouhé 7.

Protilehlá je 7.

Takže je to 7 k té straně,
která je přilehlá.

Tato strana, čtyřka, je přilehlá.

Tato čtyřka je přilehlá.
Takže přilehlá strana je dlouhá 4

takže to je 7 ku 4

a jsme hotoví.

Určili jsme všechny trigonometrické
poměry pro théta. Zkusme další.

Udělám to o trochu konkrétnější,
protože dosud jsme říkali,

"co je tangens x, tangens théta."
Udělejme to ještě trochu konkrétnější.

Řekněme, že...

nakreslím další pravoúhlý trojúhelník,

zde je další pravoúhlý trojúhelník.

Vše, s čím pracujeme,
jsou pravoúhlé trojúhelníky.

Řekněme, že přepona má délku 4,

dejme tomu,
že tato strana zde má délku 2,

a dejme tomu, že tato délka zde
bude 2 krát odmocnina ze 3.

Můžeme ověřit, že to funguje.

Pokud máte tuto stranu na druhou,
takže máme

2 krát odmocnina ze 3 na druhou

plus 2 na druhou, to se rovná kolik?

To jsou 2. Zde bude 4 krát 3.

4 krát 3 plus 4,

to se rovná 12 plus 4,
což je 16

a 16 je skutečně 4 na druhou.
Takže se to rovná 4 na druhou,

Takže Pythagorova věta platí

Pokud si pamatujete něco
o trojúhelnících s úhly 30 60 a 90

něco z toho,
co jste se naučili v geometrii,

poznáte,
že toto je právě takový trojúhelník.

Zde je pravý úhel.

Jedná se o pravoúhlý trojúhelník.

Tento úhel má třicet stupňů

a pak tento úhel tady nahoře je

šedesát stupňů.

Je to třicet, šedesát a
devadesát,

protože strana protilehlá k třiceti
stupňům je polovina přepony

a strana protilehlá k 60 stupňům je druhá
odmocnina ze 3 krát druhá strana,

kterou není přepona.

Toto nemá být přehled 30 60 90
trojúhelníků, i když jsem to právě udělal.

Určeme trigonometrické
poměry pro různé úhly

Takže, kdyby se vás někdo zeptal, kolik je
sinus ze 30 stupňů.

30 stupňů je jeden z úhlů
v tomto trojúhelníku, ale platí to

kdykoliv budete mít úhel 30 stupňů
a máte pravoúhlý trojúhelník.

V budoucnu budeme mít obecnější definice,
ale když řeknete sinus 30 stupňů,

a tento úhel je 30 stupňů,
použiji tento pravoúhlý trojúhelník,

a pouze si musíme
vzpomenout na "soh cah toa".

Napišme to. soh, cah, toa.

soh nám říká, co si počít s sinem.
sinus je protilehlá ku přeponě.

Sinus 30 stupňů je protilehlá strana,

to je protilehlá strana,
která je 2 ku přeponě.

Přepona je 4.

Jsou to dvě čtvrtiny,
což je totéž jako jedna polovina.

Sinus třiceti stupňů
se tedy vždy rovná jedné polovině.

Jak je na tom kosinus?

Kolik je kosinus třiceti stupňů?

Ještě jednou se vratíme k "soh cah toa".

cah nám říká, co si počít s kosinem.

Kosinus je přilehlá ku přeponě.

Takže při pohledu na třicetistupňový úhel,
přilehlá je tato strana.

Hned vedle úhlu.

Není to přepona.
Je to přilehlá ku přeponě.

Takže jsou to dvě odmocniny ze 3

přilehlá ku přeponě, tedy ku čtyřem.

nebo, když to zjednodušíme,
vydělíme čitatel i jmenovatel dvěma,

je to odmocnina ze 3 ku 2.

Nakonec zkusme tangens.

Tangens třiceti stupňů,

připomeneme si "soh cah toa".

soh cah toa

toa nám říká, jak určit tangens.
Je to protilehlá ku přilehlé.

Vezměte úhel 30 stupňů,
protože nás zajímá tangens 30 stupňů.

Protilehlá je 2,

protilehlá je 2 a
přilehlá 2 odmocniny ze 3.

Je to hned vedle. Přilehlá.

Přilehlá znamená, že je hned vedle.

Takže dvě druhé odmocniny ze 3

To se rovná.. dvojky se vykrátí

1 lomeno odmocnina ze 3

nebo můžeme vynásobit čitatele
i jmenovatele odmocninou ze 3.

Takže odmocnina ze 3
lomeno odmocnina ze 3.

Čitatel se rovná odmocnině ze 3

a jmenovatel je 3.

Takže jsme dostali
odmocninu ze 3 lomeno 3.

Prima.

Nyní použijeme stejný trojúhelník k určení
poměrů pro šedesát stupňů,

jelikož jsme to již nakreslili.

Takže kolik je sinus šedesáti stupňů?

Doufám, že už to začínáte chápat.

Sinus je protilehlá ku přeponě.

Která strana je
protilehlá úhlu šedesáti stupňů?

Otevírá se proti dvěma odmocninám ze 3,

tedy dvě odmocniny ze 3
je strana protilehlá,

a z úhlu šedesáti stupňů

jde to protilehlá ku přeponě

takže je to protilehlá ku přeponě

jsou to dvě odmocniny ze tří lomeno 4.
4 je přepona.

Toto zjednodušíme na odmocninu
ze 3 lomeno 2.

Kolik je kosinus 60 stupňů?

Takže pamatujte kosinus
je přilehlá ku přeponě.

Přilehlé jsou dvě strany,
hned vedle úhlu 60 stupňů.

Takže to je to 2 ku přeponě,
a ta je 4.

Takže se to rovná jedné polovině

a pak, nakonec, kolik je tangens?

Kolik je tangens 60 stupňů?

OK tangens je protilehlá ku přilehlé

protilehlá k úhlu 60 stupňů

je 2 odmocniny ze 3

2 druhé odmocniny ze 3

a přilehlá je 2.

Přilehlá k úhlu 60 stupňů je 2.

Takže protilehlá ku přilehlé,
dvě odmocniny ze 3 ku 2

to se rovná jedné odmocnině ze 3.

A ještě se podívejme,
jak to spolu souvisí.

Sinus úhlu 30 stupňů je stejný
jako kosinus 60 stupňů.

Kosinus 30 stupňů je totéž
jako sinus 60 stupňů.

Takže tyto dva jsou vzájemně inverzní

a myslím, že pokud se trochu
zamyslíte nad tímto trojúhelníkem

začne to celé dávat smysl.

V dalším videu toto budeme
dále rozšiřovat,

abyste získali větší praxi.