Verifică-ți intuiția: Problema zilelor de naștere - David Knuffke

Vezi întreaga lecție: http://ed.ted.com/lessons/check-your-intuition-the-birthday-problem-david-knuffke

Imaginează-ți un grup de persoane. Cât de mare crezi că ar trebui să fie acest grup pentru a exista o șansă de 50% ca două persoane din acest grup să aibă aceeași zi de naștere? Răspunsul e... probabil mai puțin decât crezi. David Knuffke explică cum problema zilelor de naștere ne expune slaba intuiție când e vorba de probabilități.

Lecție de David Knuffke, animație de TED-Ed.

Imaginează-ți un grup de persoane.

Cât de mare crezi
că ar trebui să fie grupul

astfel încât să existe o șansă
mai mare de 50% ca două persoane

să aibă aceeași zi de naștere?

Să presupunem că nu există gemeni,

că orice zi de naștere
e la fel de probabilă

și ignoră anii bisecți.

Gândește-te un moment.

Răspunsul poate părea
surprinzător de mic.

Într-un grup de 23 de persoane

există o șansă de 50,73% ca două persoane
să aibă aceeași zi de naștere.

Dar fiindcă sunt 365 de zile într-un an,

cum e posibil ca într-un grup atât de mic

să existe o șansă din două să existe
două persoane cu aceeași zi de naștere?

De ce e intuiția noastră atât de inexactă?

Pentru a înțelege răspunsul,

să analizăm modul în care un matematician

ar putea calcula probabilitatea ca două
persoane să aibă aceeași zi de naștere.

Putem folosi un domeniu al matematicii
cunoscut ca combinatorică,

ce se ocupă cu calcularea șanselor
de apariție a unor combinații.

Primul pas e să inversezi problema.

Să încerci să calculezi direct
șansele e dificil,

deoarece există numeroase moduri de a avea
aceeași zi de naștere într-un grup.

În schimb, e mai ușor să calculezi șansa
ca fiecare zi de naștere să fie diferită.

Cum te ajută asta?

Fie există două zile
de naștere la fel, fie nu,

astfel că șansele unei potriviri
și cele ale unei nepotriviri

trebuie să dea împreună 100%.

Astfel putem găsi probabilitatea
unei potriviri,

scăzând probabilitatea
unei nepotriviri din 100.

Pentru a calcula șansele
unei nepotriviri începem cu începutul.

Să calculăm șansele ca două persoane
să aibă zile de naștere diferite.

O zi din an va fi ziua persoanei A,

ce lasă doar 364 de posibilități
pentru persoana B.

Probabilitatea ca A și B sau oricare două
persoane să aibă zile de naștere diferite

e 364 din 365 de șanse,

adică aproximativ 0,997 sau 99,7%,
destul de mare.

Să adăugăm persoana C.

Probabilitatea ca ea să aibă o zi
de naștere diferită în acest grup mic

e de 363 din 365 de șanse,

deoarece două zile sunt deja
ocupate de persoanele A și B.

Șansele lui D vor fi
de 362 din 365 și tot așa,

până la șansele lui W de 343 din 365.

Înmulțește toate aceste numere

și vei obține probabilitatea ca niciunul
să nu aibă aceeași zi de naștere.

Rezultatul e 0,4927,

deci există o șansă de 49,27% ca niciunul
dintre cele 23 de persoane

să aibă aceeași zi de naștere.

Când scădem asta din 100,
obținem o șansă de 50,73%

ca cel puțin o două persoane
să aibă aceeași zi de naștere,

adică mai mult de o șansă din două.

Cheia pentru a înțelege de ce e șansa
atât de mare într-un grup atât de mic

e numărul surprinzător de mare
de perechi posibile.

Pe măsură ce grupul crește,
numărul combinațiilor posibile

crește mult mai repede.

Un grup de cinci persoane
are zece posibile perechi.

Fiecare dintre cei cinci
poate fi împerecheat

cu oricare dintre ceilalți patru.

Jumătate dintre aceste combinații
sunt de prisos,

deoarece împerecherea persoanei A cu B
e la fel cu împerecherea persoanei B cu A,

astfel că le împărțim la doi.

Din același motiv,

un grup de zece persoane
are 45 de perechi,

iar un grup de 23 de persoane are 253.

Numărul de perechi crește
cu puterea a doua,

ceea ce înseamnă că e proporțional
cu numărul de persoane la pătrat.

Din păcate, creierele noastre
sunt foarte nepricepute

în a înțelege intuitiv
funcțiile non-liniare.

Astfel, pare improbabil că 23 de persoane
pot avea 253 de perechi.

Odată ce creierul nostru acceptă asta,
problema pare mai ușor de înțeles.

Fiecare dintre aceste 253 de perechi
e o șansă ca două zile de naștere

să se potrivească.

Din același motiv,
într-un grup de 70 de persoane,

sunt 2.415 de perechi posibile,

iar probabilitatea ca două persoane
să aibă aceeași zi de naștere e >99,9%.

Problema zilelor de naștere
e doar un exemplu prin care matematica

ne poate arăta că lucrurile
ce par imposibile,

precum o persoană
ce câștigă de două ori la loto,

nu sunt de fapt atât de improbabile.

Uneori coincidențele nu sunt
atât de întâmplătoare precum par.