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Showing Revision 5 created 04/29/2020 by diego diaz.

  1. Ya Vimos las fórmulas para calcular tanto
    el determinante de una matriz de 2 x 2
  2. como de una de 3 x 3, quiero también
    mostrar que esa fórmula, otra vez se puede
  3. generalizar para matrices de dimensiones
    más grandes; por ejemplo en el pizarrón yo
  4. dibujé acá la fórmula para el cálculo de
    una matriz de 4 x 4, sólo para que
  5. recuerden, podemos expandir cualquier
    renglón o columna, escribí la fórmula en
  6. relación a la expansión del 1er renglón,
    si seguimos el patrón general, extraigo el
  7. componente a11 y en forma subsecuente
    multiplico por el determinante de la
  8. matriz de 3 x 3 correspondiente que
    obtengo de eliminar el renglón 1 y la
  9. columna 1 de la matriz original, luego
    continuo alternando los signos, va - acá,
  10. -a12 x el determinante de la submatriz
    correspondiente y así sucesivamente y como
  11. pueden ver acá, el cálculo del
    determinante 4 x 4 involucra
  12. fundamentalmente el cálculo de diversos
    determinantes de 3 x 3; por esa razón los
  13. determinantes son complicados de calcular
    sin embargo hay algunas propiedades muy
  14. convenientes y fórmulas para los
    determinantes que hacen que la tarea de
  15. calcular determinantes grandes sean mucho
    más sencilla; por ejemplo si tenemos una
  16. matriz diagonal, recordarán que una matriz
    diagonal es una matriz cuya diagonal
  17. externa, sus componentes, son 0, este
    sería una linda matriz diagonal de 4 x 4
  18. el cálculo de una matriz diagonal, otra
    vez puedo expandirme por cualquier renglón
  19. o columna, si por ejemplo me expando por
    el 1er renglón, tengo el número 1, todo lo
  20. demás será 0, multiplicado por el
    determinante de la submatriz, bueno, puedo
  21. expandirme, digamos, por el renglón 1 para
    esa submatriz, obtengo 2 y así
  22. sucesivamente y aplicando el procedimiento
    de inducción matemática uno puede probar
  23. que el determinante de cualquier matriz
    diagonal es igual al producto de los
  24. elementos de la diagonal; acá tenemos un
    cálculo lindo y simple, aún cuando estemos
  25. frente a una matriz de grandes dimensiones
    obtuve 24
  26. Debido a que el determinante de esa matriz
    particular era diferente de 0, eso indica
  27. que la matriz es invertible, hay alguna
    matriz de 4 x 4 a la que puedo multiplicar
  28. y obtener la matriz identidad como
    resultado de esa multiplicación
  29. sólo para que lo veamos en forma más
    explícita, recordemos con este ejemplo,
  30. que una matriz de 2 x 2, por ejemplo la
    matriz 1 2 3 4 y sólo para recordarles que
  31. el cálculo de una matriz de 2 x 2 incluye
    la multiplicación cruzada, ad - bc
  32. entonces el determinante de esta matriz
    particular, pongamos las líneas verticales
  33. para escribirlo en forma apropiada, es 4 -
    6 o -2; ese valor de determinante debido a
  34. que no es 0 determina la invertibilidad de
    la matriz A, en otras palabras A es
  35. invertible, yo les mostré anteriormente
    que la inversa de A de hecho se ve de la
  36. siguiente forma, es la matriz de 2 x 2, -2
    1 3/2 -1/2 en el 2do renglón
  37. Las propiedades de los determinantes
  38. son muchas, pero acá voy a mencionar 2 de
    las más prominentes; la nro 1, si tomamos
  39. el determinante de una matriz transpuesta
    les recuerdo que la transposición de una
  40. matriz incluye cambiar los renglones y las
    columnas; si cambio los renglones y las
  41. columnas de una matriz y aplico lo que se
    llama el Teorema de la Expansión de
  42. Laplace, expande, cuando calculo el
    determinante sobre cualquier renglón o
  43. columna, si cambio los renglones y las
    columnas no va a haber ninguna diferencia
  44. puedo expandirme a lo largo de cualquier
    renglón o columna, voy a obtener la misma
  45. calidad que hubiera obtenido si no hubiera
    tomado la transpuesta, cambiando los
  46. renglones y las columnas no tiene ningún
    efecto en el determinante; la 2da
  47. propiedad extraordinaria y muy útil para
    cálculo de determinantes es un tipo de
  48. propiedad que es una especie de sorpresa
    en algún sentido; el determinante del
  49. producto de 2 matrices es igual al
    producto de los determinantes de esas 2
  50. matrices en forma respectiva, en otras
    palabras el determinante de A x B es = al
  51. determinante de A x el determinante de B;
    les quiero recordar, tomemos nota, como ya
  52. les dije que la multiplicación de matrices
    en general no es conmutativa, en otras
  53. palabras AB no es, en general, igual a BA
    sin embargo cuando aplico el determinante
  54. a un producto, obtengo una linda propiedad
    conmutativa