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Traducción al Castellano (de España) del capítulo. 10

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Showing Revision 17 created 09/25/2014 by josejimenezdelgado.

  1. Continuamos con el resumen
  2. El siguiente tema se refiere a los
    diagramas de bifurcación:
  3. Son una forma de ver como el
    comportamiento
  4. de un sistema dinámico cambia
  5. a medida que cambian los parámetros
  6. y se construyen, creo que es la
    mejor forma de entenderlo,
  7. variando un sólo parámetro cada vez
  8. Así pues, para cada parámetro,
    se construye una linea de fase,
  9. si es una ecuación diferencial
    o un diagrama de estado final,
  10. para una función iterada
    obteniendo una colección de estos
  11. y se unen formando un
    diagrama de bifurcación
  12. Aqui tenemos uno de los
    primeros diagramas
  13. de bifurcación que hemos considerado.
  14. Esta es la ecuación logística con recogida
  15. la ecuación está escrita aquí
  16. y h es el parametro que
    estamos modificando
  17. y h ....no tengo espacio,...
  18. h está aquí, de 0 a 100, hasta 200 y
    asi sucesivamente
  19. y una forma de interpretar esto es:
  20. Supongamos que queremos saber
    que pasa en h igual a 100
  21. Nos enfocamos en el valor 100
  22. y se ve, ¡aha!,
    que hay un atractor aquï
  23. y un punto repulsor ahí
  24. Así pues, hay dos
    puntos fijos, uno atractor
  25. el otro repulsor
  26. y lo interesante es que,
  27. la población será estable
    en estos puntos
  28. recordad la historia que conté
    acerca de peces en un lago
  29. y h es la velocidad de pesca
  30. cuantos peces se pescan cada año
  31. y, vemos que incrementos en h, hacen
    que la población de peces decrezca
  32. Esto tiene sentido,
  33. pero lo sorprendente es
    que cuando se llega aquí
  34. y se hace un cambio muy pequeño
    en la velocidad de pesca
  35. la población en estado permanente,
    decrece subitamente
  36. y desaparece...
  37. Así un cambio pequeño en h
  38. conduce a un gran cambio
    cualitativo en el comportamiento
    de los peces
  39. Esto es un ejemplo de una bifurcación
  40. que ocurre justo aquí,
  41. que produce un cambio súbito
    en el comportamiento del sistema
  42. a medida que el parametro
    varía lenta y continuamente
  43. Así pues hemos visto los
    diagramas de bifurcación
  44. para ecuaciones diferenciales
  45. y vemos una sorprendente
    discontinuidad en el comportamiento
  46. Después, consideramos los
    diagramas de bifurcación
    en la ecuación logistica
  47. y vemos las bifurcaciones
    en el paso de periodo 2 a periodo 4
  48. pero lo que es realmente interesante es
  49. que se forma una estructura increíble
    que hemos visto en detalle con zoom
  50. vemos que hay ventanas de periodo 3 y,
    en general, un comportamiento complicado
  51. Así hay muchos valores para los que
    el sistema es caótico
  52. El sistema se mueve de un periodo
    a otro en una forma determinada
  53. y tiene una estructura autosimilar
    que es muy complicada
  54. pero tiene una serie de regularidades
    en la ecuación logistica
  55. A continuacion consideramos
  56. la ruta hacia el caos, con duplicaciones
    más de cerca
  57. y en particular, se define
    un cociente delta
  58. que describe cuantas veces
    las ramas n son mas largas que las n+1
  59. así pues, delta es cuanto
    más largo es esto, respecto de eso
    Esto es delta 1
  60. y el numero de veces que esto es mas largo
    que eso, será delta 2
  61. y consideramos los diagramas
    para distintas funciones
  62. y, aunque no lo he probado,
  63. discutimos como esta cantidad
  64. delta, este cociente
  65. entre las longitudes en el
    diagrama de bifurcación es universal
  66. y esto significa que tiene el mismo valor
    para todas las funciones
  67. con tal de que,...
    (un poco de letra pequeña)
  68. que mapeen el intervalo sobre sí mismo
    y tengan un solo máximo cuadrático
  69. Así, este valor, que se,...
  70. considera no racional y trascendente,
  71. se conoce como la constante de Feigenbaum
  72. en honor a una de las personas que
    hicieron este descubrimiento de universalidad
  73. Este es un sorprendente
    resultado matemático.
  74. y muestra que existen similitudes entre
  75. un amplio conjunto de sistemas matemáticos
  76. En mi opinión, lo que es
    incluso más sorprendente
  77. son las consecuencias físicas.
  78. Los sistemas físicos muestran
    la misma universalidad
  79. Así, la ruta hacia el caos
    duplicando el periodo
  80. se observa en sistemas físicos,...
  81. he hablado del grifo que gotea, sistemas
    convectivos, fluidos
  82. y se puede medir delta en estos sistemas.
  83. No es un experimento sencillo,
    pero puede hacerse
  84. y los resultados son consistentes con
    este valor univesal 4,669
  85. y lo que esto quiere decir
  86. que, de alguna forma,
    las sencillas ecuaciones
    unidimensionales,....
  87. Empezamos con la ecuación logistica
  88. y obviamente, invente
    una historia sobre conejos
    en una isla
  89. que, sin embargo, producen un número,
    o hacer predicciones
  90. que se pueden llevar al mundo real
  91. y realizar un experimento
    mucho más complicado
  92. y obtener los mismo número
  93. Esto creo que es uno de los resultados más
  94. sorprendentes e interesantes de
    los sistemas dinámicos
  95. Después, pasamos de
    ecuaciones diferenciales
  96. de una dimensión a ecuaciones diferenciales
    de dos variables
  97. Ahora, en lugar de controlar
    la temperatura o la población
  98. vamos a controlar dos poblaciones
  99. Digamos R para conejos y
    F para zorros
  100. y tendremos un sistema de
    dos ecuaciones diferenciales enlazadas
  101. el futuro de los conejos depende
    de los conejos y los zorros
  102. y el futuro de los zorros depende de
    los zorros y los conejos
  103. Ahora, están acopladas,
    enlazadas entre si.
  104. Se pueden resolver estas ecuaciones
    usando el metodo de Euler
    o técnicas similares
  105. de forma casi idéntica a como se hace
    en sistemas unidimensionales
  106. y se obtienen dos soluciones
  107. la solucion para los conejos y
    la solución para los zorros
  108. y en este caso, (es la ecuación
    de Lotka-Volterra)
  109. ambas oscilan,
  110. tenemos ciclos tanto de conejos como de zorros
  111. pero ahora podemos
    dibujar R respecto a F
  112. De esta forma perdemos
    la información temporal
  113. pero nos muestra
    como los conejos y los zorros
  114. están relacionados
  115. y si hacemos esto.
  116. obtenemos un dibujo como este.
  117. simplemente recuerdo que la curva va
    en estas direcciones
  118. y de esta manera, los conejos y los zorros
    estan dando vueltas
  119. La población de conejos crece,
    y la cantidad de zorros crece.
  120. Luego, el número de conejos decrece,
    puesto que los zorros se los comen
  121. Después, le número de zorros decrece,
  122. puesto que están hambrientos,
    ya que no hay conejos
  123. y así sucesivamente.
  124. Esto si similar a la línea de fase
  125. para ecuaciones diferenciales
    de una variable
  126. pero se denomina el plano de fase
    puesto que esta en un plano
  127. y esto muestra como se relacionan F y R
    en el plano de fase
  128. El plano de fase,
    y el espacio de fases
  129. son una serie de
    construcciones geométricas
  130. y herramientas analíticas utilizadas
  131. para visualizar comportamientos
    de sistemas dinámicos
  132. Un resultado importante
    es que no puede existir
  133. caos, en ecuaciones diferenciales
    de dos variables
  134. porque las curvas no pueden
    cruzarse en el diagrama de fase
  135. las ecuaciones son determinísticas
  136. y esto significa que en
    todos los puntos del espacio,
  137. (recordemos que hablamos
    del espacio de fase)
  138. un punto del espacio da una
    poblacion de conejos y zorros,
  139. hay una dirección única, asociada
    con el movimiento
  140. El valor de la funcion R del tiempo
    o F de tiempo
  141. que dan una dirección:
    como los conejos estan creciendo
  142. o como los zorros están creciendo
  143. Si dos lineas se cruzaran,
  144. como hacen mis dedos en este momento
  145. entonces tendríamos
    un sistema no determinado
  146. habria dos trayectorias
    posibles desde un mismo punto
  147. Asi el hecho de que las
    curvas no pueden cruzarse
  148. limita el comportamiento
  149. y solo pueden trazar
    determinadas trayectorias en
    el espacio de fases
  150. Puede haber puntos estables o inestables,
  151. puntos fijos y órbitas que, por supuesto,
    pueden ir hacia el infinito
  152. y puede haber ciclos límite,
    produciendo comportamientos ciclicos
  153. y hemos visto un ejemplo de estos
  154. Pero lo más importante es
    que no pueden existir órbitas
    aperiodicas
  155. Este resultado se conoce como
    el teorema de Poincaré- Bendixson
  156. que tiene aproximadamente
    un siglo de existencia
  157. que no es inmediatamente obvio,
    precisa una prueba
  158. Esa es la razon por la que
    es un teorema y no
  159. una afirmación obvia
  160. Se podría tratar de imaginar
    curvas en el espacio que
  161. nunca repitan
  162. pero que tampoco
    salgan de un area limitada
  163. pero el teorema de
    Poincaré- Bendixson dice
  164. estas soluciones son imposibles
  165. El resultado principal
    es que las ecuaciones
  166. diferenciales de dos dimensiones no pueden
    ser caoticas
  167. Sin embargo, este no es el
    caso para ecuaciones
  168. diferenciales en tres dimensiones
  169. Aquí tenemos la ecuación de Lorentz
  170. De nuevo es un sistema dinámico,
    es un conjunto de
  171. reglas; nos dice que algo
    cambia con el tiempo
  172. En ese caso ese algo es x, y, z;
  173. .... He olvidado que parametros
    he escogido para sigma, rho y beta,
  174. Y obtenemos tres soluciones, x, y y z..
  175. Las tres son curvas que varían con t
  176. y también podemos representarlas
    en el diagrama de fase
  177. x, y z juntos y...
  178. para ese sistema, lo que obtenemos
  179. es una estructura complicada
    que da vueltas sobre sí misma
    y se repite
  180. Parece que las lineas se cruzan,
    pero no es así.
  181. Hay un espacio entre ellas.
  182. Parece que se cruzan porque esta
  183. es una representación
    bidimensional de algo que
  184. ocurre en 3 dimensiones.
  185. De acuerdo
  186. Un poco más acerca de los
    espacios de fase,
  187. Determinismo significa que curvas
    en 2 D no pueden cruzarse
  188. pero como el espacio es tridimensional
  189. las curvas pueden ir por encima
    o por debajo
  190. y eso significa que puede existir un
    comportamiento más interesante
  191. una trayectoria puede
    moverse alrededor por encima
  192. o por debajo de ellla misma de
    manera complicada
  193. y lo que eso significa, en consecuencia,
  194. es que las ecuaciones diferenciales en 3D
    pueden ser caóticas
  195. podemos obtener curvas,
    limitadas y aperiodicas
  196. con sensibilidad a condiciones
    iniciales también.
  197. Y despues hemos descubierto
  198. que las trayectorias en el
    espacio de fase,
  199. son particularmente
    interesantes y divertidas,
  200. y frecuentemente, se dirigen
    hacia estas cosas denominadas
  201. atractores extraños
  202. Aqui tenemos el atractor de Lorentz
  203. para los notables valores d
    e la ecuación de Lorentz
  204. y los atractores extraños, que son...
  205. son puntos de atracción.
  206. y lo que significa es que
    atraen a las órbitas cercanas
  207. Por lo tanto, si tenemos
    unas condiciones iniciales
  208. las curvas van a ser atraidas
    hacia ese atractor
  209. Y en ese sentido son estables,
  210. Si estamos en el atractor,
    y alguien nos empuja un poco
  211. volvemos enseguida hacia él.
    Esto es lo que significa ser estable
  212. Asi hay un atractor estable
    en el plano de fase
  213. pero el movimiento hacia el atractor
    no es periodico
  214. de la forma que la mayor parte
    de los atractores
  215. y puntos fijos que hemos visto
  216. sino que el movimiento sobre el
    atractor es caotico
  217. y las óbitas son aperiodicas
  218. y dependen de las condiciones inciales
  219. Asi pues es un atractivo atractor caotico
  220. Analizamos el tema un poco mas
    desde el punto de vista geometrico
  221. y descubrimos que los ingredientes
    claves para
  222. un atractor extraño,
    o realmente, para lograr algún
  223. tipo de caos, es extender y doblar.
  224. Se necesita algo de extensión
    para separar las órbitas cercanas
  225. y la analogía la hacemos con el
    amasado un poco de masa
  226. Cuando se amasa, se extiende
  227. y esto separa los elementos de la masa
    y se dobla sobre sí mismo
  228. Y el doblado obliga a que las
    órbitas esten limitadas
  229. y toma dos órbitas lejas y las mueve cerca
  230. pero la extensión, empuja
    las órbitas cercanas lejos.
  231. y eso es lo que produce el efecto mariposa
  232. de dependencia de las
    condiciones iniciales
  233. Extensión y doblado puede
    ser relativamente
  234. facil de entender en un
    espacio tridimensional
  235. como es el espacio de
    amasar una pasta de pan
  236. o un espacio de fases
  237. pero ocurre también en
    mapas de una dimensión
  238. y la ecuación logística
    se extiende y se dobla.
  239. y esto puede explicar
    como los mapas de una dimensóon
  240. de las funciones iteradas tienen algunas
  241. de las características de los
    sistemas de mayor dimensión
  242. Y tambien explica como
    estos sistemas multidimensionales
  243. sistemas convectivos,
    grifos que gotean, pueden
  244. ser representados por sistemas de una
    dimensión como la ecuación logística
  245. y tienen el parámetro universal 4, 669
  246. En resumen, extensión y doblado
    son los ingredientes clave
  247. de los sistemas dinamicos con caos.
  248. Asi pues, atractores extraños
    una vez más,
  249. son estas estructuras complejas
  250. que resultan de sistemas
    dinámicos sencillos
  251. Recordemos que hemos visto tres ejemplos
  252. El mapa de Henon, el atractor Henon
  253. que es un sistema de
    dos dimensiones, discreto
  254. un sistema de dos dimensiones iterado
  255. y despues, dos diferentes conjuntos
  256. de ecuaciones diferenciales
    en tres dimensiones:
  257. la famosa ecuacion de Lorentz
  258. y también, la ligeramente menos famosa,
    pero igualmente bella
  259. ecuación de Rössler
  260. De nuevo, el movimiento
    en el atractor es caotico
  261. pero todas las órbitas
    van hacia el atractor
  262. Y por tanto, los atractores extraños
    combinan elementos de orden y desorden
  263. que es uno de los
    conceptos clave del curso
  264. El movimiento en el
    atractor es local e inestable
  265. en ellos las órbitas se separan,
    pero globalmente, son estables
  266. y tienen estas estructuras estables
  267. El mismo atractor de Lorentz
    aparece todo el tiempo
  268. Si se separa del atractor,
    vuelve a él de nuevo
  269. En el último tema que
    consideramos en la unidad 9
  270. es la formacion de patrones.
  271. Hemos visto a lo largo del curso
  272. que los sistemas dinámicos
    pueden producir caos
  273. este es uno de los resultados
    más importantes.
  274. Un comportamiento
    no periódico e impredecible.
  275. pero los sistemas dinámicos
    tienen mucho mas que caos
  276. Pueden producir modelos
    patrones, estructuras
  277. organizaciones, complejidad etc.
  278. y hemos considerado un ejemplo
    de un sistema que forma patrones
  279. Hay muchos más entre los
    que podriamos haber elegido.
  280. Hemos considerado los sistemas
    de reacción-difusión
  281. Aqui tenemos dos productos quimicos
  282. que reaccionan y se difunden
  283. y difusión, que es la expansión
    aleatoria de moleculas en el espacio
  284. la difusión tiende a eliminar diferencias
  285. hacer todo tan aburrido y
    suave como sea posible
  286. Pero si tenemos dos substancias químicas
  287. que reaccionan de una determinada manera
  288. es posible obtener estructuras
    espaciales estables
  289. incluso en presencia de difusión
  290. Aquí tenemos dos ecuaciones,
    que explique en la última unidad
  291. Son deterministicas, como los
    sistemas dinamicos
  292. que hemos estudiado antes
  293. y se extienden espacialmente
    ya que ahora u y v
  294. son funciones, no solo del tiempo,
    sino de x e y
  295. y por tanto deben tratarse con ecuaciones
    en derivadas parciales
  296. Crucialmente, las reglas son locales
  297. Así los valores de u y de v,
    que son concentraciones químicas
  298. dependen de una función f de
    los valores de estas
  299. concentraciones en una
    posición específica.
  300. y de la Laplaciana, en esta posición.
  301. Es decir, tenemos una regla local,..
  302. y las concentraciones en
    un lugar, no saben
  303. cual es la concentracion en otra posición
  304. y hacen lo que tienen que hacer, en su posicion
    específica
  305. y, sin embargo, producen estas
  306. estructuras cuando se
    consideran en conjunto
  307. Vimos un ejemplo rápido,
  308. experimentos con las ecuaciones de
  309. reacción difusión en la web de
    Experimentarium digitale
  310. y aqui tenemos un ejemplo de lo que vimos
  311. a partir de una situación inicial
    aparecen estos puntos estables
  312. Tambien vimos un video de Stephen Morris
  313. de Toronto, en el que dos fluidos
  314. se vierten en una placa de Petri
  315. y, casi de manera mágica,
    empiezan a aparecer patrones
  316. El Belousov Zhabotinsky
  317. es otro ejemplo de Reacción- Difusión
  318. El tema de formación de
    patrones es un tema
  319. muy amplio. Podria ser
    probablemente, un curso en sí mismo
  320. Lo más importante que
    quiero indicar es que
  321. hay mucho más en los sistemas dinámicos
  322. que simplemente caos e impredecibilidad
  323. Sistemas dinamicos, simples y extendidos
  324. en el espacio, con reglas locales
  325. son capaces de producir patrones
    y estructuras globales estables.
  326. por eso, el estudio de caos,
    incluye mucho mas que el caos
  327. Algunos sistemas dinámicos
    sencillos pueden
  328. producir complejidad y
    fenomenos emergentes