Worked example: power series from cos(x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
-
0:00 - 0:03f(x)의 매클로린
급수 표현식을 -
0:03 - 0:07구할 수 있는지
확인해 봅시다 -
0:07 - 0:10f(x)는 x³cosx² 입니다
-
0:10 - 0:13f(x)는 x³cosx² 입니다
-
0:13 - 0:15강의를 멈추고
한번 풀어 보세요 -
0:15 - 0:16기억하세요
매클로린 급수는 -
0:16 - 0:200을 중심으로 하는
테일러 급수일 뿐입니다 -
0:20 - 0:22목표는 이 식의
-
0:22 - 0:27매클로린 급수 표현식 또는
매클로린 급수의 근사식의 -
0:27 - 0:30처음 5개 항이
0이 아닌 것입니다 -
0:30 - 0:32강의를 멈추고
-
0:32 - 0:34풀어 보았다고
가정할게요 -
0:34 - 0:35이 식을 풀 때
-
0:35 - 0:37상당히 좌절하였을
가능성이 큽니다 -
0:37 - 0:40테일러 급수나
매클로린 급수를 구하기 위해서 -
0:40 - 0:42이 함수의 도함수를
구해야 하는데 -
0:42 - 0:44도함수를 구하기 시작하면
-
0:44 - 0:45고통스러워지기 때문이죠
-
0:45 - 0:47f'(x)는
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0:47 - 0:49곱의 미분법을 이용하면
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0:49 - 0:533x²cosx² + x³·2x(-sinx²)
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0:53 - 0:563x²cosx² + x³·2x(-sinx²)
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0:56 - 0:583x²cosx² + x³·2x(-sinx²)
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0:58 - 1:023x²cosx² + x³·2x(-sinx²)
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1:02 - 1:053x²cosx² + x³·2x(-sinx²)
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1:05 - 1:07고통스럽네요
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1:07 - 1:08그러나 두 번, 세 번, 네 번
미분할수록 -
1:08 - 1:11더욱 더 고통이
커질 것입니다 -
1:11 - 1:12더 미분해야 할지도 모릅니다
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1:12 - 1:14어떤 항은 0이
될 수도 있기 때문이죠 -
1:14 - 1:16처음 5개 항이
0이 아니어야 합니다 -
1:16 - 1:21f''(x)는 고통입니다
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1:21 - 1:22f''(x)는 고통입니다
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1:22 - 1:23삼계도함수, 사계도함수 모두
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1:23 - 1:26고통스러울 것입니다
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1:26 - 1:27어떻게 해야 하나요?
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1:27 - 1:28그냥 해야 합니다
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1:28 - 1:29구한 식에 0을 대입하여
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1:29 - 1:32계수를 구합니다
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1:32 - 1:34하지만 이 식을 푸는데
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1:34 - 1:37쉬운 방법이 있다고
예상했을 것입니다 -
1:37 - 1:41힌트를 드릴게요
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1:41 - 1:46cosx의 매클로린 급수를
알고 있죠 -
1:46 - 1:47지난 강의에서
다루었습니다 -
1:47 - 1:50다시 보고 싶다면
다른 강의가 있습니다 -
1:50 - 1:54칸아카데미에서
"cosine Taylor series at zero"인 -
1:54 - 1:550에서 코사인의 테일러 급수를
찾아보세요 -
1:55 - 1:56하지만 이미 알고 있습니다
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1:56 - 2:00이는 유명한 매클로린 급수
중 하나입니다 -
2:00 - 2:02g(x) = cosx 라고 합시다
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2:02 - 2:04g(x) = cosx 라고 합시다
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2:04 - 2:07g(x) = cosx 라고 합시다
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2:07 - 2:11이 식의 매클로린 급수
근사식은 -
2:11 - 2:13이 식의 매클로린 급수
근사식은 -
2:13 - 2:171 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +
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2:17 - 2:191 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +
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2:19 - 2:241 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +
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2:24 - 2:291 - x²/2! + x⁴/4! - x^6/6! +
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2:29 - 2:31이런 식으로 진행됩니다
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2:31 - 2:32어떻게 돌아가는지
알겠죠? -
2:32 - 2:37+ x^8/8!
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2:37 - 2:38마이너스, 플러스 돌아가며
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2:38 - 2:40계속 됩니다
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2:40 - 2:435개 항이 필요하므로
이 항들입니다 -
2:43 - 2:45이 함수에 대한
5개 항을 구해야 하지만 -
2:45 - 2:46기다려 보세요
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2:46 - 2:47이 식이 어떻게 유용해지는지
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2:47 - 2:48확인할 수 있을 것입니다
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2:48 - 2:50cosx의 매클로린 급수
표현식으로써 -
2:50 - 2:54상기시켜 보았습니다
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2:54 - 2:57힌트는 이 식을 이용하여
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2:57 - 3:01이 함수의 매클로린 급수
표현식을 구할 수 있냐는 것입니다 -
3:01 - 3:02이 함수의 매클로린 급수
표현식을 구할 수 있냐는 것입니다 -
3:02 - 3:06명심하세요
이 식은 -
3:06 - 3:08다시 읽어 드릴게요
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3:08 - 3:13x³g(x²) 입니다
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3:13 - 3:16엄청난 힌트입니다
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3:16 - 3:18다시 강의를 멈추고
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3:18 - 3:21시도해 보세요
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3:21 - 3:22다시 적어볼게요
-
3:22 - 3:24시도해 보았다고
가정하겠습니다 -
3:24 - 3:26적은 식을
다시 나타내 볼게요 -
3:26 - 3:29말씀드렸다시피
f(x)는 -
3:29 - 3:33말씀드렸다시피
f(x)는 -
3:33 - 3:36이런 식으로 나타내면
-
3:36 - 3:38g(x)를 이용하여 나타내면
-
3:38 - 3:41g(x)를 이용하여 나타내면
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3:41 - 3:44x³
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3:44 - 3:45cosx² 대신에
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3:45 - 3:47g(x²)으로 나타냅니다
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3:47 - 3:51x³g(x²)
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3:51 - 3:54x³g(x²)
-
3:54 - 3:59x³g(x²)
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3:59 - 4:00g(x) = cosx 이므로
-
4:00 - 4:02g(x²) = cosx² 입니다
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4:02 - 4:06여기에 x³을 곱합니다
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4:06 - 4:10이 식을 근사식에
바로 적용하면 안되는지 -
4:10 - 4:12질문할 수도 있겠죠
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4:12 - 4:15당연히 가능합니다
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4:15 - 4:19x 대신 x²을 대입한다면
-
4:19 - 4:20다른 다항식이
나올 것입니다 -
4:20 - 4:22여기에 x³을 곱하면
-
4:22 - 4:24다른 다항식이
나올 것입니다 -
4:24 - 4:28매클로린 급수 표현식도
마찬가지일 것입니다 -
4:28 - 4:30시작하려는 함수에
대하여 말이죠 -
4:30 - 4:32이 함수식의
-
4:32 - 4:34매클로린 급수 표현식이
나올 것입니다 -
4:34 - 4:38f(x)는 다음 식에 근사합니다
-
4:38 - 4:40f(x)는 다음 식에 근사합니다
-
4:40 - 4:43x³
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4:43 - 4:45x³
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4:45 - 4:47여기 공간을 확보하겠습니다
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4:47 - 4:50g(x²)
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4:50 - 4:52이 식은 g(x)의
근사식이므로 -
4:52 - 4:54이렇게 계속 진행하면
-
4:54 - 4:57g(x)의 표현식이 됩니다
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4:57 - 4:59따라서 x 자리에
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4:59 - 5:01x²으로 바꾸어 봅시다
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5:01 - 5:031 -
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5:03 - 5:06(x²)² = x⁴ 이므로
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5:06 - 5:08x⁴/2!
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5:08 - 5:092! = 2 이지만
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5:09 - 5:11패턴을 파악하기 위해
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5:11 - 5:12팩토리얼 기호를
그대로 두겠습니다 -
5:12 - 5:15x가 x²이므로
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5:15 - 5:19(x²)⁴ = x^8 입니다
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5:19 - 5:23+ x^8/4!
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5:23 - 5:27(x²)^6 = x^12 이므로
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5:27 - 5:32- x^12/6!
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5:32 - 5:35(x²)^8 = x^16 이므로
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5:35 - 5:39+ x^16/8!
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5:39 - 5:41물론, 이렇게 부호가 바뀌면서
계속 진행됩니다 -
5:41 - 5:44하지만 0이 아닌
처음 5개 항만 알면 됩니다 -
5:44 - 5:45이 식은
근사식에 불과합니다 -
5:45 - 5:47이 식은
근사식에 불과합니다 -
5:47 - 5:49따라서 이 식은
다음과 같습니다 -
5:49 - 5:51따라서 이 식은
다음과 같습니다 -
5:51 - 5:52x³을 분배하는 것을
-
5:52 - 5:54재밌게 분홍색으로 할게요
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5:54 - 5:56x³을 분배하면
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5:56 - 5:58x³
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5:58 - 6:04- x^7/2!
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6:04 - 6:10+ x^11/4!
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6:10 - 6:15- x^15/6!
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6:15 - 6:19+ x^19/8!
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6:19 - 6:23+ x^19/8!
-
6:23 - 6:25이렇게 0이 아닌
처음 5개 항을 구했습니다 -
6:25 - 6:27이렇게 0이 아닌
처음 5개 항을 구했습니다 -
6:27 - 6:29이렇게 나온 식을 보면
-
6:29 - 6:32직접 계산했으면
힘들게 -
6:32 - 6:35영원히 구해야 했을 것입니다
-
6:35 - 6:39이런 말도 안되는 식의
-
6:39 - 6:4019번 미분한 식까지
구해야 하기 때문이죠 -
6:40 - 6:43하지만 이 함수를
-
6:43 - 6:45x의 거듭제곱식과
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6:45 - 6:46매클로린 급수를
알고 있는 식의 곱으로 -
6:46 - 6:51매클로린 급수를
알고 있는 식의 곱으로 -
6:51 - 6:53다시 나타낼 때
-
6:53 - 6:54다시 나타낼 때
-
6:54 - 6:55이런 방식의 관점으로
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6:55 - 6:58식을 다시 나타낸다면
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6:58 - 7:00덜 혼란스러운
방식으로 해보죠 -
7:00 - 7:02이 함수를 다시 나타내면
-
7:02 - 7:05이 함수를 다시 나타내면
-
7:05 - 7:06계수를 붙이겠습니다
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7:06 - 7:11Axⁿ과
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7:11 - 7:13다른 함수의 곱
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7:13 - 7:14색깔을 다르게 할게요
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7:14 - 7:16보라색으로 하죠
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7:16 - 7:23Axⁿ·g(Bx^m)
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7:23 - 7:26Axⁿ·g(Bx^m)
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7:26 - 7:29복잡한 계산 과정 없이
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7:29 - 7:30쉽게 할 수 있습니다
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7:30 - 7:31이미 알고 있는
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7:31 - 7:35g(x)의 매클로린 급수
표현식을 알고 있다면 -
7:35 - 7:37g(x)가 어떤 식인지
알고 있다면 -
7:37 - 7:39이번 시간에 한 것처럼
똑같이 하면 됩니다 -
7:39 - 7:41g(x)의 매클로린 급수
표현식을 구하고 -
7:41 - 7:42x가 보이는 곳에
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7:42 - 7:47Bx^m을 대신 집어넣습니다
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7:47 - 7:48여기서 m은 지수입니다
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7:48 - 7:50그러면 다른 다항식이
나올 것입니다 -
7:50 - 7:51그러면 다른 다항식이
나올 것입니다 -
7:51 - 7:53그 다음 Ax^n을 곱하면
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7:53 - 7:54다른 멱급수가 나올 것이고
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7:54 - 7:55다른 멱급수가 나올 것이고
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7:55 - 7:58기존 함수의
멱급수가 될 것입니다 -
7:58 - 7:59너무 재밌네요
- Title:
- Worked example: power series from cos(x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 08:01
|
Daniel Hollas edited Korean subtitles for Worked example: power series from cos(x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | |
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Fran Ontanaya edited Korean subtitles for Worked example: power series from cos(x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy | |
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Fran Ontanaya edited Korean subtitles for Worked example: power series from cos(x) | Series | AP Calculus BC | Khan Academy |