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02 05ComputationalSolutions1BHD

  • 0:01 - 0:04
    Vamos a continuar con este ejemplo.
  • 0:04 - 0:07
    Hemos encontrado que T(2) es 11, o aproximadamente 11
  • 0:07 - 0:11
    porqué tuvimos que hacer
  • 0:11 - 0:14
    pero ahora veamos si podemos resolver T(4).
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    Podemos encontrar cómo de rápido la temperatura está cambiando
  • 0:17 - 0:22
    en el instante de tiempo 2, suponiendo que la temperatura es 11.
  • 0:22 - 0:25
    ¿Cuál es la tasa de cambio? Bien simplemente preguntando a la ecuación
  • 0:25 - 0:28
    - eso es lo que la ecuación difirencial hace - es una regla que dice lo rápido
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    que la temperatura cambia, si conocemos la temperatura.
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    Así que hagámoslo.
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    Empleemos la ecuación - preguntamos a la ecuación:
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    cuando la temperatura es 11, ¿cuál es la tasa de cambio?, ¿cuál es la derivada?
  • 0:43 - 0:51
    Así, cuando el tiempo es 2, ponemos 11, así que T mayúscula es 11, 20-11 es 9,
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    9 veces 0.2 es 1.8
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    Ahora sabemos que la temperatura es 11,
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    se está calentando a 1.8 grados por minuto.
  • 1:02 - 1:05
    Supongamos ahora que queremos conocer T(4), 4 minutos
  • 1:05 - 1:08
    Otra vez tenemos el mismo problema
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    - la tasa de cambio no es constante - está cambiando todo el tiempo,
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    tan pronto como la temperatura cambia tenemos una nueva tasa de cambio,
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    pero igual que antes, ingoraremos el problema
  • 1:17 - 1:20
    y supondremos que es constante.
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    Así pues, el problema es: la tasa de cambio no es constante
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    - nuestra solución es ignorar el problema
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    - esto no es siempre una buena manera de proceder
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    pero para el método de Euler, resulta que funciona correctamente
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    - ignoraremos el problema - supondremos que es constante
  • 1:37 - 1:41
    y podemos resolver que la temperatura en el instante de tiempo 4,4 minutos,
  • 1:41 - 1:44
    en estos 2 minutos, que estamos suponiendo:
  • 1:44 - 1:46
    cuanto incremento de temperatura tenemos,
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    bien a 1.8 grados por minuto para 2 minutos, esto es 3,6,
  • 1:51 - 1:58
    3,6+11, donde empezamos, nos das 14,6
  • 1:58 - 2:03
    Así que, ahora, sabemos que la temperatura en T XXX
  • 2:03 - 2:05
    Podemos seguir haciendo esto,
  • 2:05 - 2:07
    continuar con este proceso, y obtendremos
  • 2:07 - 2:12
    una serie de valores de temperatura para una serie de tiempos.
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    Así que continuamos con este proceso,
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    y podemos poner nuestros resultados en una tabla.
  • 2:21 - 2:24
    Así que estas 3 primeras entradas que ya hemos resuleto
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    - la temperatura inicial es 5, entonces en el instante de tiempo 2 era 11,
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    en 4 era 14,6, y en 6,
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    siguiendo con el mismo procedimiento, obtendriamos 16.75,
  • 2:36 - 2:39
    y podriamos continuar.
  • 2:39 - 2:42
    Así que hagámos un gráfico - dibujemos estos números
  • 2:42 - 2:47
    veamos que se obtiene, y comparémoslo con la solución exacta.
  • 2:47 - 2:51
    Para esta ecuación, es posible emplear el cálculo para obtener
  • 2:51 - 2:55
    una solución exacta de esta ecuación diferencial,
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    y esto se muestra como esta línea solida.
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    Hacia el final de esta unidad, comentaré un poco sobre
  • 3:00 - 3:03
    como uno puede obtener esta línea sólida.
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    La solución de Euler - esto es lo que estamos haciendo aquí
  • 3:05 - 3:09
    - son estos cuadrados - así que empezamos en
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    la condición inicial, y entonces aquí en 11,
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    un poco menos de 15, casi 17, y así sucesivamente.
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    Podemos ver que la solución de Euler
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    - los cuadrados conectados mediante la línea punteada
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    no es muy próxima a la solución exacta.
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    No está mal, pero no es un ajuste perfecto
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    y no esperariamos un ajuste perfecto
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    porqué tenemos que hacer algunas suposiciones para obtener esto.
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    Así, como es habitual , ignorar el problema
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    - recuerda que el problea era que:
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    la derivada - la tasa de cambio de la temperatura no era constante.
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    Ignorar el problema no fué realmente una gran solución
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    pues tenemos estos errores aquí.
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    Para este ejemplo, elegiria un tamaño de paso de 2, una delta de 2.
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    Yo dije: estimemos la temperatura, T mayúscula, cada 2 minutos,
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    pero es este tamaño de paso el que nos produjo el problema
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    porque tuvimos que fingir que una tasa de variación cambiante
  • 4:08 - 4:12
    era constante durante el intervalo de tiempo de 2 minutos,
  • 4:12 - 4:15
    y eso es claramente falso,
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    así, una manera de mejorar el método de Euler es emplear un delta t más pequeño.
Title:
02 05ComputationalSolutions1BHD
Description:

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Video Language:
English
Team:
Complexity Explorer
Project:
Introduction to Differential Equations
Duration:
04:23

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