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Showing Revision 1 created 01/30/2014 by federivadeneira.

  1. En este video compararé y contrastaré
  2. las ecuaciones diferenciales y las funciones iterativas
  3. Estas son los dos tipos principales de sistemas dinámicos
  4. que estudiaremos en este curso.
  5. Y otros muy parecidos que tienen propiedades matemáticas diferentes
  6. Comparando la ecuación logística
  7. que posee una funcion iterada y una ecuación diferencial
  8. nos puede ayudar a clarificar y resaltar algunas
  9. diferencias importantes. Aquí a la izquierda
  10. está la ecuación logística en forma diferencial
  11. la forma que estamos viendo describe la función P en términos de su tasa de cambio
  12. entonces, sabemos cuál es la tasa de cambio de P (dP/dt) si sabemos cuánto es P
  13. el crecimiento de la población (dP/dt), depende del valor tomado por la población (P)
  14. y estos dos parámetros.
  15. Para una función iterada, también se describe el crecimiento de la población
  16. pero aquí f(P) es la población del siguiente año
  17. dada la población en este año
  18. Entonces tenemos una serie de valores de población iterando esta función
  19. Cuando comencé con la ecuación logística usé esta forma de la misma
  20. Pero usualmente es simplificada a esta forma
  21. donde A es absorbida por x.
  22. Entonces esta forma es la que usaremos.
  23. Pero, el punto de partida para estas dos ecuaciones
  24. es el mismo en el lado derecho de la ecuación
  25. La diferencia es que hacemos distintas interpretaciones a la izquierda
  26. Entonces, el lado derecho aquí es interpretado como
  27. la tasa de crecimiento
  28. y el lado derecho aquí es interpretado como
  29. la población en el año siguiente
  30. Entonces, las soluciones a estas funciones iterativas y a las ecuaciones diferenciales
  31. tienen un caracter distinto
  32. Para las ecuaciones diferenciales:
  33. la solución
  34. es población como función del tiempo (P(t))
  35. y se vería como algo así...
  36. Para una función iterativa:
  37. Graficamos una serie temporal
  38. La cual puede parecerse a:
  39. Algo como esto
  40. Entonces, noten las diferencias entre estas dos
  41. soluciones. En ambos casos la curva azul es la
  42. solución a los sistemas dinámicos. Los cuales son
  43. una regla que les dice a las curvas azules cómo comportarse
  44. Pero, para las ecuaciones diferenciales, la curva
  45. azul cambia continuamente, se define todo el tiempo
  46. creciendo suavemente de aquí hasta aquí pasando
  47. a través de todos los valores intermedios.
  48. En cambio, para la función iterativa:
  49. el tiempo se mueve a través de saltos
  50. tiene un valor inicial en 0, luego 1, luego 2
  51. y el valor de la población también se mueve por saltos
  52. va de este valor a este valor, y las líneas que conectan
  53. los puntos, saltan de aquí en el tiempo cero hasta aquí en el tiempo 1
  54. sin tomar los valores intermedios.
  55. Entonces, en esta, la ecuación diferencial,
  56. tanto el tiempo como la población son continuos
  57. (Escribe: Tiempo y población son continuos)
  58. Pero para la ecuación logística y para todas las funciones iteradas
  59. el tiempo y la población o cualquier medida que tomemos
  60. se mueven a través de saltos.
  61. Escribe: (el tiempo y la población se mueve por saltos)
  62. Entonces, otra vez, para la ecuación logística en la función iterada
  63. el tiempo y la población se mueven por saltos
  64. y esta diferencia aquí, junto al hecho de que estas ecuaciones son deterministas
  65. da lugar a un rango muy amplio y distinto de posibles comportamientos.
  66. Entonces, como vimos en la funciones iterativas en la unidad III
  67. que, son capaces de producir ciclos y caos.
  68. Entonces: escribe (ciclos y caos son posibles)
  69. Ahora, no todas las funciones iteradas muestran ciclos o caos
  70. recuerden que caos es una órbita aperiódica y limitada que también posee
  71. SDIC (Sensible Dependencia sobre las Condiciones Iniciales)
  72. Para una ecuación diferencial, sin embargo, los ciclos y el caos no son posibles.
  73. Escribe: (ciclos y caos no son posibles)
  74. Entonces, pensemos acerca porqué esto es así.
  75. supongamos que un ciclo es positivo
  76. Este sería el caso
  77. tendríamos una curva solución parecida a esta, que sube y baja
  78. Podemos eliminar esta posibilidad apelando al determinismo de esta ecuación
  79. Esta ecuación dice: que la derivada de la tasa de crecimiento de la población depende
  80. solamente en la población... y en K pero imaginamos que estos están fijos
  81. Pensemos acerca de esta curva azul que sube y baja
  82. voy a dibujar, arbitrariamente una línea punteada
  83. Notemos qué es lo que pasa. Aquí tengo un valor particular de P
  84. (el de la línea punteada) y la población crece, entonces la derivada es positiva
  85. la derivada entonces es positiva para este valor de P
  86. Aquí, cuando el ciclo, cuando la población está bajando
  87. la derivada es negativa, eso significa que en estos dos puntos
  88. aquí y aquí, son derivadas diferentes
  89. Entonces, la primer flecha púrpura, dice que la función crece, derivada positiva
  90. y la segunda flecha, que la función decrece y la derivada es negativa
  91. Pero el problema es que tienen el mismo valor de P, denotado por el eje aquí
  92. y el valor de P es el mismo
  93. Si estos es cierto, entonces: valores diferentes de P
  94. perdón, diferentes derivadas sobre el mismo valor de P
  95. Pero, eso es imposible
  96. porque la ecuación diferencial, dice que la derivada
  97. es una función solamente de P. Otra forma de decirlo es:
  98. el mismo valor de P... o... o... un valor dado de P solo tiene un valor de derivada asociado con el
  99. Si sabemos la población P entonces, eso determina la derivada
  100. Aquí si sabemos la población P no está determinando la derivada porque
  101. tenemos diferentes derivadas para el mismo valor de P
  102. Entonces, la conclusión es: Los ciclos no son posibles y el caos es imposible también
  103. Todo comportamiento que suba y baje, no tiene porqué ser un ciclo regular, lo podemos eliminar a través de este argumento.
  104. Dijimos esto en la unidad II.
  105. El rango de comportamientos para ecuaciones diferenciales unidimensionales son un tanto aburridos
  106. La función puede incrementarse hasta un punto fijo
  107. disminuir hasta un punto fijo
  108. decrecer hasta el infinito, crecer hasta el infinito. Eso es todo lo que puede hacer.
  109. Las funciones iterativas tienen un rango mucho más rico de comportamientos.
  110. Y eso es porque el determinismo no las limita de la misma manera
  111. por lo que no prohibe los ciclos. Entonces, los ciclos
  112. son posibles en funciones iterativas y el caos y el comportamiento periódico también los son.