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Showing Revision 22 created 11/07/2017 by machado.

  1. Na ultima sub-unidade,
    eu falei sobre derivadas,
  2. talvez, tenha falado demais.
  3. Mas o ponto principal é que:
  4. a derivada de uma quantidade é sua
  5. taxa de variação instantânea.
  6. Apenas te informa quão rápido a quantidade
    está aumentando ou diminuindo
  7. num momento específico de tempo
  8. Agora estamos prontos para
    discutirmos equações diferenciais.
  9. Elas são um outro tipo de sistema dinâmico.
  10. Nas próximas leituras.
  11. Eu te darei diferentes maneiras de
    pensar sobre equações diferenciais,
  12. e resolvê-las,
  13. e o que estas soluções representam
  14. Com honestidade, não sei ainda a ordem de
    apresentação das próximas leituras,
  15. mas estou seguro de quando
    chegarmos ao fim delas,
  16. terás uma boa noção do que
    são equações diferenciais
  17. o que suas soluções representam,
  18. e com entende-las como
    sistemas dinâmicos.
  19. Vamos começar.
  20. Introduzirei as equações diferenciais com
    uma comparação com as funções iterativas,
  21. o primeiro tipo de sistema dinâmico
    que estudamos
  22. Aqui está uma função iterativa.
  23. Esta notação deixa claro que precisamos
  24. de um valor inicial
  25. e então sempre obteremos o próximo valor
    aplicando a função ao valor presente.
  26. O próximo valor na órbita ou itinerário
    é função do valor presente.
  27. Esta função terá valores diferentes,
    dependendo de qual é o valor presente.
  28. Uma equação diferencial é uma equação
    que envolve a derivada de uma função,
  29. Assim, aqui a função é x(t).
  30. Isto diz que a derivada de x é uma
    função de x
  31. Tudo bem, vamos explicar
  32. A derivada de x
  33. que representa a variação instantânea de x
  34. estão, ela nos informa como x varia
  35. como x varia depende de x
  36. é uma função de x
  37. Se me deres x, Eu te digo quanto
    x está variando.
  38. Aqui se me deres xn, Eu posso descobrir
    o próximo valor de xn.
  39. Quando se resolve uma função iterativa
  40. é preciso uma semente
  41. a partir disto, posso calcular uma órbita.
  42. a primeira iteração.,
  43. a segunda iteração,
  44. a terceira,
  45. e por aí vai.
  46. No caso de uma equação diferencial,
    você também precisará
  47. de uma condição inicial, um
    ponto de partida.
  48. que pode ser escrito como x0.
  49. ou poderá escrever x no tempo 0
  50. ou seja, é preciso um valor inicial
    para esta variável.
  51. qualquer que seja.
  52. e esta função descreve com a função varia.
  53. não te dá a informação tão direta
    como aqui
  54. onde apenas te informa o valor seguinte.
  55. Aqui, a equação diferencial te informa
  56. qual a taxa de variação em cada dado x.
  57. A solução de uma equação diferencial não
    é exatamente uma órbita discreta,
  58. mas sim uma função contínua.
  59. A solução será uma função
  60. x de t
  61. t
  62. há uma x(t)
  63. e quem sabe ...
  64. de novo, estou apenas preparando
    um exemplo
  65. Assim, em vez de uma plotagem de uma
    série de tempo que salta os pontos
  66. é apenas discreto
  67. aqui é uma curva suave.
  68. ela começa onde está a condição inicial
  69. e então, aumenta ou diminui de acordo
    com as instruções que recebe
  70. da equação diferencial
  71. Esta é uma maneira que eu gosto de
    pensar nas equações diferenciais
  72. Equações diferenciais são um Sistema Dinâmico
  73. Um sistema que varia no tempo de acordo
    com uma regra bem definida.

  74. E aqui está, a grosso modo, um exemplo de
    uma regra que pode lhe dar
  75. uma maneira de pensar nisto.
  76. Aqui está um navegador GPS
    embutido no i-phone
  77. e aparelhos similares são instalados
    em muitos carros.
  78. Você informa seu ponto de partida
  79. e ele te dá um conjunto de direções
  80. e estas direções te levam ao
    endereço desejado.
  81. Aqui, eu pedi o caminho pra chegar
    a Bangor, Maine
  82. partindo de onde estou, na faculdade.
  83. E se eu pressionar inicio, isso me dará, com
    uma voz irritante, algumas direções como esta:

  84. Voz GPS: "Chegando a trilha para Bangor, ME.
    Vire à sudoeste em Sea Urchin Rd."
  85. Então, me dá o meu primeiro
    conjunto de direções.
  86. E eu faço isso e chego num local diferente
  87. porque eu fiz o que me disseram,
    eu sigo as instruções.
  88. E então, me dá um conjunto diferente
    de direções
  89. com base em onde estou atualmente.
  90. assim, ele está continuamente
    atualizando o que está me dizendo.
  91. O que me diz varia conforme eu me movo,
  92. como meu valor x muda na equação,
  93. e sempre está me dizendo o que fazer.
  94. Então, uma equação diferencial age
    de maneira similar
  95. exceto, as instruções dadas não são diretas.
  96. Coisas do tipo: Vá por aqui ou por ali.
  97. Mas, em vez disso, eles sempre estão
    me dizendo o quão rápido ir.
  98. qual minha derivada deve ser
  99. qual minha velocidade deve ser
  100. e qual direção deve apontar.
  101. A equação diferencial está me dizendo
    continuamente
  102. qual será a derivada
  103. qual será a derivada
  104. Em todos os pontos, está falando
    continuamente comigo
  105. com sua vozinha irritante.
  106. E dessa forma, especifica uma
    curva através do espaço.
  107. De maneira muito similar à
    uma função iterativa
  108. Essa regra aplicada continuamente
    especifica uma órbita.
  109. Assim, as equações diferenciais são um
    tipo diferente de sistema dinâmico,
  110. mas são muito semelhantes às
    funções iterativas.
  111. É uma regra que especifica um
    caminho através do espaço,
  112. ou qualquer outra coisa.
  113. desde que você dê uma condição inicial.
  114. Então vamos voltar a analisar a equação.
  115. Uma equação diferencial é uma
    equação desta forma.
  116. A derivada de x é uma função de x.
  117. Então, em palavras, esta equação
    diz o seguinte:
  118. a taxa de variação de x, quão rápido x
    está aumentando ou diminuindo
  119. isto é a derivada
  120. é dado por, esse é o
    sinal de igualdade,
  121. uma função de x
  122. Assim como x muda, esta regra
    , esta função
  123. estará sempre me dizendo,
    não o próximo valor de x.
  124. mas o quanto x continua a variar.
  125. Então, isso determina a variação em x
  126. e da variação de x,
  127. podemos descobrir x,
  128. que é o que nos interessa.
  129. Por exemplo, se você conhece
    a velocidade e direção,
  130. podemos descobrir sua posição
    como uma função do tempo.
  131. Na próxima aula, vou dar um exemplo específico,
  132. e você verá como isso funciona.