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Showing Revision 19 created 02/07/2015 by Marciano Moreno.

  1. En la última sub unidad hablamos un poco
    acerca de las derivadas,
  2. posiblemente hablé demasiado.
  3. El punto principal es que
  4. la derivada de una cantidad es su
  5. tasa de cambio instantánea
  6. Te dice qué tan rápido está creciendo o
    decreciendo una cantidad en el tiempo.
  7. Ahora hablaremos de
    de las ecuaciones diferenciales.
  8. Son otro tipo de sistema dinámico.
  9. En las siguientes secciones
  10. les daré distintas formas de pensar
    acerca de las ecuaciones diferenciales,
  11. cómo resolverlas
  12. y qué significan sus soluciones
  13. No estoy seguro de qué orden
    seguir para las siguientes secciones,
  14. pero estoy confiado en que cuando
    lleguemos al final de ellas,
  15. podrán decir de qué son
    las ecuaciones diferenciales,
  16. qué significan sus soluciones
  17. y cómo pensar en ellas como
    sistemas dinámicos.
  18. Iniciemos.
  19. Introduciré las ecuaciones diferenciales
    comparándolas con funciones iteradas,
  20. el primer tipo de sistema dinámico
    estudiado.
  21. Aquí está una función iterada.
  22. Esta notación clarifica
    la necesidad de requerir
  23. un valor inicial,
  24. y luego se puede obtener el siguiente
    valor aplicando la función al actual.
  25. el siguiente valor en la órbita o
    itinerario es función del valor actual.
  26. Esta función puede tener distintos
    valores dependiendo del actual.
  27. Una ecuación diferencial involucra
    la derivada de una función.
  28. de tal forma que la función aquí es
    x de t.
  29. Esto indica que la derivada de x
    es una función de x.
  30. Detallemos esto.
  31. La derivada de x,
  32. esto es la tasa de cambio instantáneo
    de x,
  33. esto nos dice cómo está cambiando x
  34. cómo el cambio de x depende en x,
  35. es una función de x.
  36. Si me dices x, te puedo decir
    qué tan rápido está cambiando x.
  37. Aquí si me dices x n, puedo determinar
    el siguiente valor de x n.
  38. Cuando un resuelve una función iterada,
  39. se requiere un valor inicial
  40. y a partir de él se puede determinar
    la órbita.
  41. El primer iterado,
  42. segundo iterado,
  43. tercer iterado
  44. y así sucesivamente.
  45. Para la ecuación diferencial
    también se requiere
  46. una condición inicial, un punto inicial
  47. que se puede escribir x0,
  48. o se puede escribir x en el tiempo 0.
  49. Se requiere un valor inicial
    para esta variable,
  50. cualquiera que este sea
  51. y entonces esta función te dice
    cómo cambia la función,
  52. no te da la información de forma
    tan directa como aquí
  53. que se indica el siguiente valor.
  54. Aquí la ecuación diferencial te indica
  55. qué tan rápido está cambiando la función
    para cualquier x determinado.
  56. La solución para una ecuación diferencial
    no es discreta sino una función continua.
  57. Así que la solución será una función
  58. x de t,
  59. t
  60. aquí está x de t
  61. y quién sabe,
  62. aquí solo estoy haciendo un ejemplo.
  63. En vez de una gráfica de una serie
    de tiempo que fluctúa
  64. y es discreta,
  65. aquí hay una curva continua,
  66. inicia con la condición inicial
  67. y entonces crece o se contrae de acuerdo a
    las instrucciones que haya recibido
  68. de la ecuación diferencial.
  69. Una forma como me gusta pensar en las
    ecuaciones diferenciales,
  70. son sistemas dinámicos.
  71. Un sistema que cambia en el tiempo
    de acuerdo a una regla bien especificada.
  72. Y aquí hay un ejemplo de una regla que
    te puede dar una forma de pensar en esto.
  73. Existe un dispositivo de navegación
    construido dentro de este iPhone,
  74. hay objetos similares construidos en
    muchos autos.
  75. Le indicas dónde estás iniciando
  76. y entonces te da un conjunto
    de direcciones
  77. y ese conjunto de direcciones te llevan
    al destino que hayas ingresado.
  78. Aquí ingresé cómo llegar a Bangor, Maine
  79. desde donde me encuentro en el campus.
  80. Si oprimo inicio me dará en una voz
    molesta algunas indicaciones como esta:
  81. (GPS) “Iniciando la ruta a Bangor, ME.
    Diríjase al SE sobre Sea Urchin Rd.”
  82. Me da el primer conjunto de indicaciones,
  83. las sigo y me encuentro en
    una ubicación distinta
  84. he realizado lo solicitado,
    sigo dirección.
  85. Entonces me da un conjunto distinto
    de indicaciones,
  86. de acuerdo a mi lugar actual.
  87. Se actualiza continuamente lo que
    me indica.
  88. Lo que me dice varía conforme me muevo,
  89. tal como mi valor x cambia en la ecuación
  90. y siempre me dice qué hacer.
  91. Una ecuación diferencial es
    similar a esto,
  92. excepto que las direcciones que me da
    no son una posición directa.
  93. Las cosas van aquí, aquí y aquí.
  94. En vez me dice qué tan rápido ir siempre,
  95. la derivada,
  96. la velocidad,
  97. y la dirección.
  98. La ecuación diferencial me dice
    continuamente
  99. cuál debe ser la derivada
  100. cuál debe ser
  101. en todos los puntos, continuamente
    habla conmigo
  102. en su molesta pequeña voz.
  103. De esta forma determina una curva
    en el espacio,
  104. de forma similar a una función iterada,
  105. esa regla aplicada continuamente
    especifica una órbita.
  106. Las ecuaciones diferenciales son
    un tipo distinto de sistema dinámico,
  107. muy similares a funciones iteradas.
  108. Es una regla que especifica un camino
    en el espacio
  109. en lo que sea
  110. siempre y cuando se le indique
    una condición inicial.
  111. Veamos nuevamente la ecuación.
  112. Una ecuación diferencial es una ecuación
    de esta forma.
  113. La derivada x es una función de x.
  114. En palabras esta ecuación dice
    lo siguiente:
  115. la tasa de cambio de x, qué tan rápido x
    está creciendo o decreciendo,
  116. eso es la derivada,
  117. se determina por, eso es el símbolo =
  118. una función de x.
  119. Conforme x cambia, esta regla,
    esta función
  120. siempre me dice, no cuál es
    el siguiente valor de x
  121. sino cómo x continua cambiando.
  122. Esto determina el cambio en x
  123. y del cambio en x
  124. podemos determinar x,
  125. el objeto en sí en de interés.
  126. Por ejemplo, si sabes la velocidad
    y la dirección
  127. podemos determinar la posición como una
    función del tiempo.
  128. En la siguiente intervención haré
    un ejemplo específico de esto
  129. y verás cómo funciona.