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Title:
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Description:
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En la última sub unidad hablamos un poco
acerca de las derivadas,
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posiblemente hablé demasiado.
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El punto principal es que
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la derivada de una cantidad es su
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tasa de cambio instantánea
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Te dice qué tan rápido está creciendo o
decreciendo una cantidad en el tiempo.
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Ahora hablaremos de
de las ecuaciones diferenciales.
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Son otro tipo de sistema dinámico.
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En las siguientes secciones
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les daré distintas formas de pensar
acerca de las ecuaciones diferenciales,
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cómo resolverlas
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y qué significan sus soluciones
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No estoy seguro de qué orden
seguir para las siguientes secciones,
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pero estoy confiado en que cuando
lleguemos al final de ellas,
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podrán decir de qué son
las ecuaciones diferenciales,
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qué significan sus soluciones
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y cómo pensar en ellas como
sistemas dinámicos.
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Iniciemos.
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Introduciré las ecuaciones diferenciales
comparándolas con funciones iteradas,
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el primer tipo de sistema dinámico
estudiado.
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Aquí está una función iterada.
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Esta notación clarifica
la necesidad de requerir
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un valor inicial,
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y luego se puede obtener el siguiente
valor aplicando la función al actual.
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el siguiente valor en la órbita o
itinerario es función del valor actual.
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Esta función puede tener distintos
valores dependiendo del actual.
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Una ecuación diferencial involucra
la derivada de una función.
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de tal forma que la función aquí es
x de t.
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Esto indica que la derivada de x
es una función de x.
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Detallemos esto.
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La derivada de x,
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esto es la tasa de cambio instantáneo
de x,
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esto nos dice cómo está cambiando x
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cómo el cambio de x depende en x,
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es una función de x.
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Si me dices x, te puedo decir
qué tan rápido está cambiando x.
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Aquí si me dices x n, puedo determinar
el siguiente valor de x n.
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Cuando un resuelve una función iterada,
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se requiere un valor inicial
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y a partir de él se puede determinar
la órbita.
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El primer iterado,
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segundo iterado,
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tercer iterado
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y así sucesivamente.
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Para la ecuación diferencial
también se requiere
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una condición inicial, un punto inicial
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que se puede escribir x0,
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o se puede escribir x en el tiempo 0.
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Se requiere un valor inicial
para esta variable,
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cualquiera que este sea
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y entonces esta función te dice
cómo cambia la función,
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no te da la información de forma
tan directa como aquí
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que se indica el siguiente valor.
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Aquí la ecuación diferencial te indica
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qué tan rápido está cambiando la función
para cualquier x determinado.
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La solución para una ecuación diferencial
no es discreta sino una función continua.
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Así que la solución será una función
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x de t,
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t
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aquí está x de t
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y quién sabe,
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aquí solo estoy haciendo un ejemplo.
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En vez de una gráfica de una serie
de tiempo que fluctúa
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y es discreta,
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aquí hay una curva continua,
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inicia con la condición inicial
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y entonces crece o se contrae de acuerdo a
las instrucciones que haya recibido
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de la ecuación diferencial.
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Una forma como me gusta pensar en las
ecuaciones diferenciales,
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son sistemas dinámicos.
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Un sistema que cambia en el tiempo
de acuerdo a una regla bien especificada.
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Y aquí hay un ejemplo de una regla que
te puede dar una forma de pensar en esto.
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Existe un dispositivo de navegación
construido dentro de este iPhone,
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hay objetos similares construidos en
muchos autos.
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Le indicas dónde estás iniciando
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y entonces te da un conjunto
de direcciones
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y ese conjunto de direcciones te llevan
al destino que hayas ingresado.
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Aquí ingresé cómo llegar a Bangor, Maine
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desde donde me encuentro en el campus.
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Si oprimo inicio me dará en una voz
molesta algunas indicaciones como esta:
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(GPS) “Iniciando la ruta a Bangor, ME.
Diríjase al SE sobre Sea Urchin Rd.”
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Me da el primer conjunto de indicaciones,
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las sigo y me encuentro en
una ubicación distinta
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he realizado lo solicitado,
sigo dirección.
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Entonces me da un conjunto distinto
de indicaciones,
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de acuerdo a mi lugar actual.
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Se actualiza continuamente lo que
me indica.
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Lo que me dice varía conforme me muevo,
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tal como mi valor x cambia en la ecuación
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y siempre me dice qué hacer.
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Una ecuación diferencial es
similar a esto,
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excepto que las direcciones que me da
no son una posición directa.
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Las cosas van aquí, aquí y aquí.
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En vez me dice qué tan rápido ir siempre,
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la derivada,
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la velocidad,
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y la dirección.
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La ecuación diferencial me dice
continuamente
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cuál debe ser la derivada
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cuál debe ser
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en todos los puntos, continuamente
habla conmigo
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en su molesta pequeña voz.
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De esta forma determina una curva
en el espacio,
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de forma similar a una función iterada,
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esa regla aplicada continuamente
especifica una órbita.
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Las ecuaciones diferenciales son
un tipo distinto de sistema dinámico,
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muy similares a funciones iteradas.
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Es una regla que especifica un camino
en el espacio
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en lo que sea
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siempre y cuando se le indique
una condición inicial.
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Veamos nuevamente la ecuación.
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Una ecuación diferencial es una ecuación
de esta forma.
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La derivada x es una función de x.
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En palabras esta ecuación dice
lo siguiente:
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la tasa de cambio de x, qué tan rápido x
está creciendo o decreciendo,
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eso es la derivada,
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se determina por, eso es el símbolo =
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una función de x.
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Conforme x cambia, esta regla,
esta función
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siempre me dice, no cuál es
el siguiente valor de x
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sino cómo x continua cambiando.
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Esto determina el cambio en x
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y del cambio en x
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podemos determinar x,
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el objeto en sí en de interés.
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Por ejemplo, si sabes la velocidad
y la dirección
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podemos determinar la posición como una
función del tiempo.
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En la siguiente intervención haré
un ejemplo específico de esto
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y verás cómo funciona.
