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Showing Revision 4 created 02/04/2016 by Enrique Barrajón.

  1. Hay muchos tipos de caminos aleatorios,
  2. y mostraremos algunos de ellos

  3. para que tengáis una idea de su riqueza.
  4. Primero está el camino aleatorio de Pearson
  5. en el que cada paso tiene una longitud fija
  6. pero en una dirección aleatoria.
  7. Lo que muestro aquí es una trayectoria
  8. típica de este camino aleatorio de Pearson.
  9. Otro ejemplo es el camino aleatorio
  10. de retícula, en el que el camino aleatorio
  11. está restringido a moverse entre
  12. vecinos próximos de una retícula regular.
  13. Así que aquí los pasos son de longitud fija
  14. y las direcciones son
    norte, este, sur u oeste.
  15. Otro tipo de camino aleatorio es
  16. el llamado vuelo de Levy.
  17. En el vuelo de Levy hay una amplia distribución
  18. de las longitudes de paso simples, pero
  19. cada paso se da una una dirección aleatoria.
  20. Aquí veremos que el desplazamiento
  21. después de muchos pasos
  22. puede estar dominado por el
  23. paso simple más largo del camino.
  24. Otro ejemplo que me interesa mucho
  25. es el ejemplo de pasos menguantes,
  26. que es un camino aleatorio que se vuelve
  27. vez más perezoso conforme pasa el tiempo,
  28. y la longitud del paso n es lambda elevado a n
  29. donde lamba es menor de 1.
  30. Un aspecto sorprendente de este tipo
  31. de camino aleatorio es la diversidad de
  32. la distribución de probabilidad en función
  33. del factor de contracción lambda.
  34. Notad que cuando lambda es 0.61,
  35. de hecho, precisamente el número áureo,
  36. 1 más raíz de 5, dividido entre 2,
  37. la distribución de probabilidad es
  38. un patrón bellamente autosimilar
  39. que se repite en todas las escalas,
  40. de forma que la estructura central es igual
  41. que la distribución completa, y dentro
  42. de la estructura central hay algo que
  43. reproduce de nuevo la estructura completa.
  44. Otro caso especialmente interesante es
  45. lambda 0.707, que es de hecho
  46. 1 partido por la raíz cuadrada de 2.
  47. Aquí, la distribución de probabilidad está
  48. compuesta de 3 segmentos lineales,
  49. 2 líneas inclinadas y otra plana.
  50. Y hay más casos especialmente bellos
  51. de caminos aleatorios de pasos menguantes.
  52. Otro ejemplo importante que
    aparece en la naturaleza
  53. es la difusión turbulenta, en la que
  54. los caminos aleatorios se mueven en
  55. un campo de convección aleatorio.
  56. En este caso, la distancia de paso típica
  57. del camino aleatorio crece con el tiempo,
  58. y se pueden obtener un bello comportamiento
  59. parecido a plumas, como veis aquí
  60. de humo procedente de
    incendios de petróleo en el océano.
  61. Éstos son los tipos de caminos aleatorios
  62. que acabamos de discutir.
  63. Como veremos, los primeros cuatro tipos
  64. se sitúan en el dominio del famoso
  65. teorema del límite central, en el que la
  66. distribución de probabilidad es asintóticamente
  67. gausiana, independientemente de los detalles
  68. del movimiento microscópico.
  69. Este universal es un principio tremendamente
  70. útil en muchos fenómenos colectivos.