Conseguem resolver o enigma das caixas do prisioneiro? — Yossi Elran

Vejam a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-prisoner-boxes-riddle-yossi-elran

A vossa banda preferida é ótima a tocar música... mas não é tão boa em organizar.se. Andam sempre a trocar os instrumentos nas digressões, e o agente deles atira-se ao ar. Conseguem resolver o terrível enigma que o agente lhes apresenta e assegurar que a banda se mantém organizada? Yossi Elran mostra como é.

A vossa banda preferida
é ótima a tocar música...

mas não é tão boa em organizar-se.

Andam sempre a trocar
os instrumentos nas digressões,

o que deixa o agente deles furioso.

No dia do grande concerto,

a banda acorda e descobre
que está manietada

numa sala de ensaios,
sem janelas e à prova de som.

O agente explica-lhes
o que está a acontecer.

Lá fora, há 10 grandes caixas.

Cada uma delas contém
um dos vossos instrumentos,

mas não se fiem nos desenhos
— foram colocados ao acaso.

Vou levar lá para fora
um de cada vez.

Quando estiverem lá fora,
podem abrir cinco caixas quaisquer

antes de a segurança
vos levar para o autocarro.

Não podem tocar nos instrumentos

nem, de qualquer modo,
comunicar aos outros o que viram.

Não podem marcar as caixas,
nem gritar, nada.

Se todos conseguirem
encontrar os vossos instrumentos,

podem tocar esta noite.

De contrário, a editora abandona-vos.

Têm três minutos para pensar,
antes de começarmos.

A banda fica desesperada.

Cada músico só tem 50% de hipóteses
de encontrar o seu instrumento

escolhendo cinco caixas ao acaso.

E as hipóteses de todos os 10 acertarem
ainda são mais baixas

— apenas uma em 1024.

Mas, de repente, o baterista
aparece com uma estratégia válida

que tem mais de 35% de hipóteses
de funcionar.

Conseguem descobrir qual foi?

[Parem o vídeo no próximo ecrã
se quiserem descobrir sozinhos.]

Resposta em: 3

Resposta em: 2

Resposta em: 1

O baterista disse isto:

"Cada um abre primeiro a caixa
com o desenho do seu instrumento.

"Se o vosso instrumento estiver lá dentro,
estão safos.

"Caso contrário, vejam o que
é que está lá dentro

"depois abram a caixa
que tem essa mesma imagem.

"Continuem a fazer isso,
até descobrirem o vosso instrumento".

Os colegas da banda estão céticos,

mas o que é espantoso
é que todos encontraram o que queriam.

Umas horas depois, estão a tocar
para milhares de fãs em delírio.

Então, porque é que a estratégia
do baterista funcionou?

Cada músico segue
uma sequência interligada

que começa com a caixa cujo exterior
corresponde ao seu instrumento

e acaba na caixa que o contém.

De notar que, se continuassem
a fazer o mesmo, iriam parar ao princípio.

Trata-se de um ciclo fechado.

Por exemplo, se as caixas
estivessem organizadas deste modo,

o cantor abria a primeira caixa
e encontrava a bateria,

ia à oitava caixa
e encontrava a viola baixo,

e encontrava o microfone
na terceira caixa,

que voltava a apontar para a primeira.

Isto funciona muito melhor
do que um palpite ao acaso,

porque, ao começar com a caixa
com a imagem do seu instrumento,

cada músico restringe a sua pesquisa
ao ciclo que contém o seu instrumento

e há boas probabilidades,
— cerca de 35% —

de que todos os ciclos
terão um comprimento de cinco ou menos.

Como calculamos essas probabilidades?

Por uma questão de simplificação,
vamos demonstrar um caso simplificado,

com quatro instrumentos e apenas
dois palpites para cada músico.

Comecemos por encontrar
as probabilidades de fracasso,

a hipótese de que alguém
precise de abrir três ou quatro caixas,

antes de encontrar o seu instrumento.

Há seis ciclos distintos em quatro caixas.

Uma forma engraçada de os contar
é fazer um quadrado,

colocar um instrumento em cada canto,

e desenhar as diagonais.

Vejam quantos ciclos únicos encontram

e reparem que estes dois
consideram-se o mesmo,

só que começam em pontos diferentes.

Mas estes dois são diferentes.

Podemos visualizar os 8 ciclos distintos
das três caixas, usando triângulos.

Encontramos quatro triângulos possíveis

consoante qual o instrumento
que deixarmos de fora

e dois caminhos distintos
para cada um deles.

Portanto, das 24 combinações
de caixas possíveis

há 14 que levam ao fracasso,

e 10 que acabam no êxito.

Esta estratégia matemática funciona
para qualquer número par de músicos

mas, se quisermos um atalho,

generalizamos para uma equação prática.

Se houver 10 músicos,
as probabilidades são cerca de 35%.

E se fossem mil músicos?

Um milhão?

À medida que o número aumenta,
a probabilidade aproxima-se de 30%.

Não é uma garantia, mas com um pouco
de sorte, está longe de ser impossível.

Olá, se gostaram deste enigma,
tentem resolver estes dois.