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← Nonlinear 1.3 Transients and attractors

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Showing Revision 4 created 09/16/2016 by Daniela Mazza.

  1. Nell'ultimo segmento, avete visto che la progressione
    delle iterazioni della mappa logistica convergeva ad
  2. un asintoto. In questo segmento, sarò più precisa
    riguardo la definizione e
  3. la terminologia che riguarda ciò. E vi
    mostrerò cosa succede per diversi
  4. valori delle condizioni iniziali x_0
    e del parametro, R.
  5. Prima di tutto, il concetto di progressione di
    iterazioni, x_0, x_1, e così via.
  6. E' chiamata orbita o traiettoria del
    sistema dinamico.
  7. Una orbita o traiettoria è una sequenza
    dei valori delle variabili di stato del sistema.
  8. La mappa logistica ha una variabile di stato, x.
    Altri sistemi possono averne più di una.
  9. Il mio pendolo, ad esempio, quello che avete
    visto nel primo segmento. Dovete sapere
  10. la posizione e la velocità di entrambi i bracci del pendolo
    per sapere qual è lo stato.
  11. CI ritorneremo nella terza unità del corso.
  12. Il valore iniziale della variabile di stato nella
    mappa logistica, x_0, viene chiamato la condizione iniziale.
  13. La traiettoria della mappa logistica dalla
    condizione iniziale, x=0.2, con R=2, raggiunge
  14. ciò che viene chiamato un punto fisso. Questo è
    l'asintoto dopo ciò che viene chiamata transizione.
  15. Vi ho disegnato la figura l'ultima volta.
    ecco di nuovo l'immagine.
  16. Tecnicamente, un punto fisso è lo stato del sistema
    che non si muove a causa
  17. della dinamica. Cioè, il punto fisso a cui
    l'orbita della mappa logistica converge, è
  18. ciò che viene chiamato punto fisso di attrazione.
  19. Ci sono altri tipi di punti fissi
    che vi mostrerò con il mio pendolo.
  20. Quindi è certamente un punto fisso
    delle dinamiche. Il sistema è qui e
  21. le dinamiche non lo muovono. Ed è un punto fisso di
    attrazione, perché se perturbo
  22. un po' il sistema, la perturbazione si restringe,
    facendo ritornare il dispositivo al punto fisso.
  23. Quindi è un punto fisso di attrazione.
    Come ho detto, ci sono altri tipi di punti fissi.
  24. Questo è uno di loro. O, ce n'è uno qui.
    Non ho mai visto il pendolo che si fermi qui.
  25. C'è un punto qui per il pendolo che
    rimarrà in equilibrio.
  26. Quindi è un punto fisso nel senso che
    il sistema non si muoverà da lì,
  27. ma è un punto fisso instabiole.
  28. Ci sono altri due punti fissi instabili
    nel sistema, questo e questo.
  29. Di nuovo, tutti questi punti sono stati del
    sistema in cui la dinamica è stazionaria.
  30. La definizione che ho appena dato comprende
    entrambi questi tipi di punti fissi.
  31. Gli stati che non si muovono sotto l'influenza
    delle dinamiche, ma che non dicono quando
  32. sono stabili, cioè se sono di attrazione, o instabili,
    cioè che respingono,
  33. come i punti invertiti del pendolo.
  34. I sistemi dinamici hanno parecchi
    tipi di comportamenti asintotici.
  35. Ci sono sottoinsiemi dell'insieme di stati possibili
    in cui le cose convergono quando il tempo va all'infinito.
  36. Questi sono chiamati attrattori.
  37. Gli attrattori, a proposito, hanno qualcosa
    di circolare che finisce
  38. quando la transizione termina. C'è un modo per formalizzare
    che metterò in un video ausiliario,
  39. se le persone sono interessate.
  40. I punti fissi di attrazione sono un tipo di
    attrattori.
  41. Ci sono altri tre tipi. Di qualcuno ne parleremo
    nel prossimo segmento,
  42. e di tutti nel corso delle prossime due settimane.
    Tornando ai punti fissi,
  43. ricordate questa dimostrazione? Usando la
    applicazione della mappa logistica, che mostrava che molte
  44. condizioni iniziali differenti andavano
    allo stesso punto fisso.
  45. Quindi se usiamo la condizione iniziale 0.1, e
    il valore di parametro 2.2, abbiamo
  46. questo punto fisso. Proviamo qualcosa di
    diverso.
  47. Differente transizione, stesso punto fisso.
  48. Differente transizione, ancora va
    allo stesso punto fisso.
  49. Questo comportamento,
    quando molte condizioni iniziali
  50. portano allo stesso attrattore, lo chiamiamo
    bacino di attrazione.
  51. Se siete degli Stati Uniti, c'è una facile analogia
    per voi per capire questo.
  52. Nel mezzo degli Stati Uniti, c'è una cosa chiamata "continental divide".
  53. Si trova circa dieci miglia ad ovest da qui
    e una goccia che cade a ovest cadrà
  54. nell'Oceano Pacifico.
  55. Una goccia che cade ad est
    cadrà nell'Oceano Atlantico
  56. o forse nel Mississippi,
    dall'altra parte.
  57. L'analogia è che l'Oceano Atlantico
    è un attrattore e il terreno a est
  58. del "continental divide" è il
    bacino di attrazione di quell'attrattore.
  59. L'Oceano Pacifico è un altro attrattore,
    e il terreno ad ovest del
  60. "continental divide" è un suo bacino di attrazione,
    e il bordo del bacino
  61. di attrazione divide questi due bacini.
  62. Che cosa pensate succeda a una goccia
    che cade esattamente su questa linea di confine?
  63. Ora torniamo indietro e osserviamo cosa succede
    se modifichiamo il parametro R con
  64. x_0 fissato, cioè usiamo la stessa condizione
    iniziale. Usiamo R=2.3, R=2.4, R=2.5,
  65. come ho detto nell'ultimo segmento, il
    punto fisso si sposta. E' come la popolazione
  66. di conigli che si stabilizza ad un numero più elevato se
    le volpi sono meno affamate
  67. o il tasso di natalità dei conigli è più elevato.
  68. Se osservate da vicino, vedrete che
    è diversa la durata della transizione.
  69. L'ho appena fatto. R=2.2, la popolazione si stabilizza
    molto velocemente. Occorre un po' di più se R=2.3.
  70. L'analogia è che la popolazione ci mette un po' di più a convergere a questo
  71. punto fisso, proporzione di volpi e conigli.
    Potreste anche aver notato, questa piccolo picco,
  72. qui, che è più pronunciato se aumentiamo ulteriormente R.
  73. Questo è R=2.6, questo è R=2.7. Ciò che succede qui
    è che l'orbita è ancora convergente a un
  74. punto, ma invece di convergere in un punto unico,
    oscilla, converge ad un'oscillazione.
  75. E' come se schiacci la macchina sul cofano, e questa
    rimbalza
  76. su e giù per un po' prima di stabilizzarsi.