So there are a few more things I'd like to mention about bifurcations.
First, I should briefly mention that bifurcations are a topic that are covered pretty extensively...
much more extensively than I have here...
...in most mathematical courses on dynamical systems, especially those that focus on differential equations.
And the conclusions or realizations that emerge from this body of work are that there's only a small...
...set of-- just a handful-- of different types of bifurcations.
So you might think, well, there are so many different types of differential equations...
that each one might have a different type of bifurcation, and that turns out to not be the case.
That there's just a small set-- you can classify them in a very precise and analytic way-- what these different types are.
And, surprisingly, to me at least, this classifcation holds by-and-large-- it gets a little more complicated-- but it holds in higher dimensions as well.
So there's a really nice theory behind a lot of this empirical stuff I've been presenting about bifurcations.
It's beyond the scope of this course but I can point you to some references if you'd like to dig into those further.
The second point that I want to raise is to just underscore the
basic phenomenon of bifurcations, which is that you can have a very large change in equilibrium behavior associated with a tiny change in a system parameter.
Now, bifurcations don't occur all the time-- most of the time, in these differential equations, you change your parameter, and the system changes just a little bit.
A small change in one thing gives rise to a small change in another.
But every now and again, if you're at or near one of these bifurcations, you can make a small change in a parameter, and this time it will make a huge change in the system behavior.
In the case of the logistic equation with harvest, once you go past that critical harvest point, it's disaster for the fishery.
The equilibrium point that existed just disappears.
So it might be worth thinking about this in a somewhat inverted way, so, starting not with equations, but with observations.
So suppose we're monitoring some fishery, and we notice that the-- you know, we change the harvest rate every now and again, or we just notice that sometimes the fisherfolk catch more, sometimes less...
...and, then, all of a sudden, one day or one year, the population just disappears. And we might wonder, "What happened? What did that?"
And it might be natural to look for some outside source-- pollution, or some horrible fish disease. I don't know enough about fish to know what an outside source would be.
But if we see some sudden collapse, some sudden change in a system, we might think that there must be something external that caused that.
And that could be the case, but what the phenomenon of bifurcations shows is that you can also have sudden changes that arise not from an external source...
but from the intrinsic dynamics of the system. So, these sudden changes, you don't need to appeal to something outside; the cause can be internal.
And that's very similar to one of the realizations from the butterfly effect and chaos, from the last unit.
If you see a population behaving erratically, that's not evidence that it is not following a rule.
It's not evidence that there's some external source that's making that behavior appear random or be random.
You can have internal or intrinsic sources of randomness in a simple model, just like you can have jumps or sudden transitions be intrinsic to a simple model.
Another point I want to make is that bifurcations don't have to be bad things.
I've been presenting them as bad things because, well, in the logistic model with harvest, they are kinda a bad thing.
We have a fish population that's kinda doing alright, and then just disappears. So that's bad news for the fish, and bad news for people that like fish.
But I could also imagine cases where bifurcations are not catastrophic, or bad news.
Bifurcations let one, sort of, shift, between two different types of behavior or two different regimes, and that could be a useful thing for an organism, in some settings.
And just in general, bifurcation doesn't automatically mean something that's catastrophically terrible or bad.
Okay.
The last point that I want to make is to think about what the phenomena of bifurcations might have to tell us about the study of complex systems.
So by complex systems, in this context, I'm thinking of a situation where we're concerned not just with one species of fish, but many many species of fish.
And these species of fish might interact! Some, help each other out, some are antagonistic; we'll need to think about what fish eat.
Algae, or sometimes other fish, or fish f... I don't know what fish eat, but we'll need to think about what fish eat.
And then we'll need to think about fisherfolk, and what they prefer to harvest, and maybe markets, and what types of fish people want to eat, and so on.
And the point is, there's a lot of things going on, a lot of variables, things we want to keep track of, and they're all interacting with each other.
One thing will influence another, and vice-versa.
So, okay.
For the simple logistic equation with harvest of this unit, we've seen that we can get these sudden changes...
...these jumps, these gaps, in behavior.
Would we expect to see that in a complex system that was built up out of many, many logistic-equation-like things.
I think the answer to this question is not so clear, and it gets to maybe the heart of what is different and interesting about complex systems.
So, one could think, well, alright, if simple equations, one-dimensional equations, have these jumps in them...
You put a whole bunch of those equations together, and kind of tie them together with interactions, then, probably, the whole system would have jumps in it.
Could happen.
Or, perhaps, when we put all these equations together and tie them together, make them interrelated...
maybe that interrelation and the diversity of interactions actually serves to stabilize things, and so we tend to not see these jumps.
I don't know that either of those scenarios is generically true.
I think in some settings, we might still see jumps, and in other settings, we might not.
So I think that's sort of an open area in the study of complex systems.
We have these generic properties for simple systems; to what extent to they carry over in the-- when we study more complex systems?
إذاً يوجد هناك بعض الأمور القليلة التي أريد ذكرها عن التشعبات.
أولاً، يجب أن أذكر بشكلٍ مختصر أنّ التشعبات موضوع شامل على نطاق واسع...
شامل أكثر مما لدي هنا...
...في معظم الدورات الرياضية في الأنظمة الديناميكية، خصوصاً تلك التي تركز على المعادلات التفاضلية.
والإستنتاجات والتحققات التي تنشأ من الجزء الأساسي من العمل ، والتي هي مجموعة صغيرة فقط...
...مجموعة - حفنة فقط - من الأنواع المختلفة من التشعبات.
إذاً ربما تعتقد، حسناً، هناك الكثير من الأنواع المختلفة للمعادلات التفاضلية...
حيث كل نوع ربما يملك نوع مختلف من التشعب، وتبيّن أنّها ليست هذه المسألة.
يوجد هناك فقط مجموعة صغيرة يمكنك أن تصنفها بطريقة تحليلية ودقيقة جداً ماهي هذه الأنواع المختلفة.
وبشكل مفاجئ، على الأقل بالنسبة لي، هذا التصنيف يحمل و بشكل كبير إنّه يصبح معقد قليلاً لكن إنّه يتمسك بأبعاد أعلى أيضاً.
إذاً يوجد نظرية رائعة جداً خلف الكثير من هذه الأشياء التجريبية التي كنت أقدّمها عن التشعبات.
إنّها في غير نطاق هذه الدورة ، لكن أستطيع أن أشير لكم بعض المراجع إن كنتم تحبون أن تتعمقوا بها بشكل أوسع .
النقطة الثانية التي أريد إبرازها هي فقط التأكيد على
الظاهرة الأساسية للتشعبات، والتي هي أنّه يمكنك أن يكون لديك تغير كبير في سلوك التوازن المترافق مع تغير صغير في وسيط النظام.
الآن، التشعبات لا تظهر كل الوقت-- معظم الوقت، في هذه المعادلات التفاضلية ، إبإمكانك تغيير الوسيط ، والنظام يتغير قليلاً فقط
تغيير صغير في شيءٍ واحد يعطي ارتفاع لتغيير صغير آخر.
لكن بين الحين والآخر، إن كنت عند هذه التشعبات أو بالقرب منها، تستطيع أن تسبب تغيير صغير في الوسيط، وهذه المرة سوف يسبب تغيير ضخم في النظام.
في حالة المعادلة اللوجيستية مع المحصول، حالما تتجاوز نقطة الحصاد الحرجة، إنّها كارثة لمهنة صيد السمك.
نقطة التوازن التي تواجدت تختفي فحسب.
لذلك ربما يكون من الجدير التفكير بطريقة عكسية بعض الشيء، إذاً، بالبدء ليس بالمعادلات ولكن بالملاحظات.
إذاً إفترض أنّك تراقب بعص صيادي السمك، ولاحظت أنّ--أنت تعرف، أننا غيرنا مقدار الحصاد بين الحين والآخر، أو نلاحظ للتو أنّه أحياناً
و ثم، فجأةً، يوم واحد أو سنة واحدة، الكثافة السكانية تختفي فحسب. وربما نتساءل، "ماذا حدث؟ ماذا فعل ذلك؟"
وربما يكون من الطبيعي النظر إلى مصدر تلوث خارجي ما، أو لمرض أسماك مروع. لا أعرف كفاية عن السمك لأعرف أي مصدر خارجي ممكن أن يكون
لكن إذا رأينا انهيار مفاجئ ما، تغير مفاجئ ما في النظام، ربما نفكر أنّه لا بد من وجود شيئاً ما خارجي سبب ذلك.
ويمكن أن تكون هي الحالة، لكن أي ظاهرة تشعبات تُظهٍر أنّه بإمكانك أيضاً أن يكون لديك تغيرات مفاجئة ناشئة من مصدر ليس خارجي....
لكن من الديناميكا الجوهرية للنظام. إذاً، هذه التغيرات المفاجئة، لا تحتاج أن نتهم شيئاً ما خارجياً، السبب يمكن أن يكون داخلياً.
وذلك مشابه جداً لأحد التحققات من تأثير الفراشة والشواش، من الوحدة الماضية.
إذا رأيت الكثافة السكانية تتصرف على نحوٍ متقلب، فذلك ليس دليل على أنّها تتبع قاعدة.
لايوجد دليل أنّ هنالك مصدر خارجي ما، الذي يجعل السلوك يبدو عشوائي أو غير عشوائي
يمكن أن تملك مصادر داخلية أو جوهرية للعشوائية في نموذج بسيط، تماماً كما يمكن أن يكون لديك قفزات أو انتقالات مفاجئة، تكون جوهرية لنموذج بسيط.
نقطة أخرى أريد أن أوضحها هي أنّه لا يجب أن تكون التشعبات أشياءً سيئة.
لقد كنت أقدّمهم كأشياء سيئة لأنّ، حسناً، في النموذج اللوجيستي مع الحصاد، إنّهم شيٌ سيء نوعاً ما.
لدينا كثافة الأسماك التي تبلي بشكل جيد نوعاً ما، ومن ثم تختفي فحسب. إذاً تلك أخبار سيئة للأسماك، وأخبار سيئة للناس التي تحب أكل الأسماك.
لكن أستطيع أن أتخيل حالات حيث التشعبات ليست فاجعة أو أخبار سيئة.
تدع التعبات تغير واحد نوعاً ما بين نوعي سلوك مختلفين أو بين نظامين مختلفين، وهذا يمكن أن يكون شيئاً مفيداً للكائن الحي، في بعض الإطارات.
وبشكل عام فقط، إن التشعبات لاتعني بشكل آلي شيئ ما رهيب بشكلٍ مفجع أو سيء.
حسناً.
النقطة الأخيرة التي أريد أن أوضحها هي أن التفكير بظواهر التشعبات ربما يخبرنا عن دراسة الأنظمة المعقدة.
إذاً وفقاً للأنظمة المعقدة، في هذا السياق، أنا أفكر بوضع حيث نحن مهتمين ليس بنوع واحد من الأسماك، لكن بالعديد من أنواع السمك.
وربما تتفاعل أنواع السمك هذه ! البعض يساعد الآخر، البعض مخاصم لبعض، نحتاج أن نفكر بما تأكله الأسماك.
الطحالب، أو أسماكٌ أخرى أحياناً، أو أسماك ف... لا أعرف ماذ تأكل الأسماك، لكن سنحتاج أن نفكر بما تأكله الأسماك.
ومن ثم سنحتاج أن نفكر بصيادي الأسماك، وماذا يفضلون أن يحصدوا، وربما الأسواق، وأي نوع من الأسماك تريد الناس أن تأكل، وهكذا.
والمغزى هو أنّه هناك الكثير من الأمور تحدث، الكثير من المتغيرات، أمور نريد أن نتعقبها، وكلها تتفاعل مع بعضها.
شيءٌ ما سوف يؤثر على الآخر، والعكس صحيح.
إذاً، حسناً.
بالنسبة للمعادلة اللوجيستية البسيطة مع الحصاد لهذه الوحدة، لقد رأينا أنّه يمكننا أن نحصل على هذه التغيرات المفاجئة...
.... هذه القفزات، هذه الفجوات، في السلوك.
هل كنا نتوقع أن نرى ذلك في نظام معقد تم بناؤه من العديد من الأشياء كالمعادلة اللوجيستية.
أعتقد أنّ الإجابة لهذا السؤال ليست واضحة جداً، وربما إنّها تصل لقلب الأنظمة المعقدة وكم هي مختلفة ومثيرة للإهتمام.
إذاً، أحدٌ ما يستطيع أن يفكر، حسناً، إن كانت المعادلات البسيطة، المعادلات أحادية البعد، لديها قفزات فيها...
تضع مجموعة كاملة من هذه المعادلات معاً، وتربطهم معاً بشكل ما من خلال التفاعلات، ثمّ من المحتمل أن يحتوي كل النظام على قفزات فيه.
ممكن أن يحدث ذلك.
أو ربما،عندما نضع كل هذه المعادلات معاً ونربطها معاً، أي تجعلها مترابطة ...
ربما تلك العلاقة المترابطة وتنوع التفاعلات ينفع استقرار الأشياء بشكل واقعي، ولذلك نميل لعدم رؤية تلك القفزات.
لا أعرف أي من هذه السيناريوهات صحيح بشكلٍ عام.
أعتقد أنّه في بعض الأوضاع، ربما لا نزال نرى قفزات، وفي أوضاعٍ أخرى، ربما لا نرى.
إذاً أعتقد أنّ تلك منطقة مفتوحة في دراسة الأنظمة المعقدة.
لدينا هذه الخصائص العامة للأنظمة البسيطة: لأي مدى تتوسع لتحمل في الـ -- متى ندرس أنظمة معقدة إضافية؟
所以我还想提一些关于分叉的事情。
首先，我应该简单地提一下，分叉是一个被广泛涵盖的主题......
比我在这里更广泛......
...在动力系统的大多数数学课程中，尤其是那些专注于微分方程的数学课程。
从这一系列工作中得出的结论或实现是，只有一小部分......
......一组 - 只有少数 - 不同类型的分叉。
所以你可能会认为，有很多不同类型的微分方程......
可能有不同类型的分叉，事实证明并非如此。
只有一小部分 - 你可以用非常精确和分析的方式对它们分类 - 这些不同的类型是什么。
令人惊讶的是，至少对我而言，这种分类大体而言 - 有点复杂 - 但它也有更高的维度。
我一直在介绍有关分叉的许多经验性资料。所以有一个非常好的理论
这超出了本课程的范围，但是您想进一步深入研究，我可以为您提供一些参考。
第二点我提出的是强调
分叉的基本现象， 平衡行为发生很大的变化与系统参数微小的变化相关联。
分叉并不会一直发生-在多数情况下，微分方程中更改参数后，系统会发生微小的变化。
一件事的微小变化会引起另一件事的微小变化。
但如果您处于这些分叉中的参数进行很小的更改，将会对系统的行为产生巨大的改变。
对收获情况的逻辑斯谛方程, 一旦超过关键的收获点，对渔业来说是灾难。
存在的平衡点消失了。
因此需要以某种相反的方式来思考此问题，不是从方程式而是从观察开始。
因此，假设我们监测某些渔业，并注意到，更改捕捞率，或者只是发现有时渔民的捕捞量增加，
...然后突然间，一天或一年， 鱼没有了。 我们可能会想：“发生了什么？那是什么？”
很自然寻找某外部来源（污染或某些可怕的鱼类疾病)。我对鱼了解不足，无法知道外部来源。
但如果我们看到系统突然崩溃，系统突然变化，我们可能会认为一定是由外部因素引起的。
可能是这样，但分叉现象表明，也可能会发生突然的变化，而这些变化并非来自外部来源...
系统的内在动力。因此这些突然的变化，您无需诉诸于外界。 原因可能是内部的。
最后一个单元, 蝴蝶效应和混沌实非常相似。
如果您看到某人行为异常, 这不能证明它没有遵守规则。
没有证据表明存在某种外部原因使该行为看起来是随机的或随机的。
您可以在一个简单的模型中拥有内部或内部随机性源，跳跃或突然转变是简单模型所固有的。
我想说明的另一点是，分叉不一定是坏事。
我一直把它们当作不好的事来介绍，因为在大量的的物流模型中，分叉是一件坏事。
我们的鱼类种群还不错，然后消失了。 这对鱼来说是坏消息，对喜欢鱼的人来说也是坏消息。
但是我也想象分叉的情况不是灾难或坏消息。
分叉在两种不同类型的行为或两种不同的机制之间转移，在某些情况下对有机体可能有用。
总的来说，分叉并不会意味着可怕的灾难或糟糕的事情。
好的。
最后一点我想提出的是考虑分叉现象可能要告诉我们关于复杂系统的研究。
因此在这种情况下，对于复杂的系统，我们不仅关注一种鱼，而且关注鱼群。
这些鱼可能会相互作用！ 有的互相帮助，有的对立。
藻类，或者有时是其他鱼类，或者是鱼类……我不知道吃什么鱼，但是我们需要考虑吃什么鱼。
然后，我们需要考虑渔民，喜欢收获什么，也许还有市场，人们想要吃什么类型的鱼等等。
关键是，发生了的很多事情，很多变量，我们想跟踪的，它们都在相互影响着。
一件事会影响另一件事，反之亦然。
是的。
对于该单元具有简单逻辑斯蒂方程式，我们已经看到可以得到这些突然的变化...
...这些跳跃，这些差距，在行为上。
我们是否希望看到复杂系统是由大量的类似逻辑斯蒂方程的事物构成。
我认为这个问题的答案不是很清楚，它可能引起了复杂系统的不同和有趣之处。
因此，人们可能会认为，如果简单的方程，一维方程在其中发生了跳跃……
将这些方程式放在一起，并通过交互，将它们联系在一起，那么很可能整个系统都会跃入其中。
可能会发生。
或者，也许，当我们将所有这些方程式放在一起并将它们联系在一起时，使它们相互关联...
因此，人们可能会认为，好吧，如果简单的方程，一维方程在其中发生了跳跃……
我不知道这两种情况中的哪一种通常是正确的。
我认为在某些设置中，我们可能仍会看到跳跃，而在其他设置中，可能没有。
因此我认为复杂系统研究是一个开放领域。
对于简单的系统，具有的属性。 当我们研究更复杂的系统时，它们会在多大程度上延续？