WEBVTT

00:00:09.036 --> 00:00:14.106
คุณคงลำบากแน่ หากจะมองหา
เคอนิกส์แบร์กบนแผนที่ยุคใหม่

00:00:14.106 --> 00:00:17.415
แต่จุดหนึ่งที่น่าสนใจ
ในภูมิศาสตร์ของมัน

00:00:17.415 --> 00:00:22.205
ได้ทำให้มันเป็นหนึ่งในเมืองที่มี
ชื่อเสียงที่สุดในโลกคณิตศาสตร์

00:00:22.205 --> 00:00:26.214
เมืองเยอรมันยุคกลาง
ตั้งอยู่บนสองฝั่งแม่น้ำพรีเกิล

00:00:26.214 --> 00:00:28.875
ณ ใจกลางมีเกาะขนาดใหญ่
สองเกาะ

00:00:28.875 --> 00:00:33.124
เกาะทั้งสองนี้เชื่อมต่อถึงกัน
และยังเชื่อมต่อกับฝั่งแม่น้ำ

00:00:33.124 --> 00:00:35.884
ด้วยสะพานทั้งเจ็ด

00:00:35.884 --> 00:00:41.296
นักคณิตศาสตร์ คาร์ล ก็อตลีบพ์ อีเลอ
ผู้ต่อมาเป็นนายกเทศมนตรีเมืองใกล้ ๆ

00:00:41.296 --> 00:00:44.395
หมกมุ่นอยู่กับเกาะและสะพานเหล่านี้

00:00:44.395 --> 00:00:47.205
เขาคิดย้อนทวนถึงปัญหาอยู่ข้อเดียว

00:00:47.205 --> 00:00:51.095
ต้องใช้เส้นทางไหนดีจึงจะ
ข้ามสะพานได้ครบทั้งเจ็ด

00:00:51.095 --> 00:00:55.136
โดยที่ไม่ข้ามซ้ำสะพานเดิม

00:00:55.136 --> 00:00:56.946
ลองหยุดคิดกันดูสักครู่

00:00:56.946 --> 00:00:57.936
7

00:00:57.936 --> 00:00:58.947
6

00:00:58.947 --> 00:00:59.916
5

00:00:59.916 --> 00:01:00.847
4

00:01:00.847 --> 00:01:01.956
3

00:01:01.956 --> 00:01:02.886
2

00:01:02.886 --> 00:01:03.996
1

00:01:03.996 --> 00:01:05.076
ยอมแพ้แล้วหรือ

00:01:05.076 --> 00:01:06.198
ก็น่าอยู่หรอก

00:01:06.198 --> 00:01:07.513
เพราะมันเป็นไปไม่ได้

00:01:07.513 --> 00:01:12.636
แต่ความเพียรอธิบายสาเหตุ ทำให้
นักคณิตศาสตร์คนดัง ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์

00:01:12.636 --> 00:01:15.997
สรรค์สร้างคณิตศาสตร์สาขาใหม่

00:01:15.997 --> 00:01:18.648
คาร์ลเขียนจดหมายถึงออยเลอร์
ให้ช่วยไขปริศนา

00:01:18.648 --> 00:01:23.367
ครั้งแรกออยเลอร์ละเลยคำถามนี้
เพราะไม่ใช่เรื่องของคณิตศาสตร์

00:01:23.367 --> 00:01:25.136
แต่ยิ่งเขาครุ่นคิดถึงมันมากเท่าไร

00:01:25.136 --> 00:01:28.977
ก็ยิ่งดูเหมือนว่ามีอะไรสักอย่างอยู่ดี

00:01:28.977 --> 00:01:32.906
คำตอบที่เขาค้นพบ
เป็นเรื่องเกี่ยวกับเรขาคณิตชนิดหนึ่ง

00:01:32.906 --> 00:01:38.258
ซึ่งยังไม่เคยมีมาก่อน เขาเรียกมันว่า
เรขาคณิตของตำแหน่ง

00:01:38.258 --> 00:01:41.897
ปัจจุบันคือทฤษฎีกราฟ

00:01:41.897 --> 00:01:43.443
ข้อสังเกตแรกของออยเลอร์

00:01:43.443 --> 00:01:48.507
คือเส้นทางที่เลือกระหว่างการเข้าไปใน
เกาะหรือฝั่งแม่น้ำและการออกจากที่นั่น

00:01:48.507 --> 00:01:50.578
อันที่จริงแล้วไม่ได้สำคัญนัก

00:01:50.578 --> 00:01:54.427
ฉะนั้นจึงสามารถลดรูปแผนที่ให้ง่ายขึ้น
โดยให้แต่ละผืนดินจากทั้งสี่แห่ง

00:01:54.427 --> 00:01:56.627
ถูกแทนที่ด้วยจุดเดียว

00:01:56.627 --> 00:01:59.297
ซึ่งปัจจุบันเราเรียกว่า โนด

00:01:59.297 --> 00:02:04.198
ด้วยเส้น หรือ เอ็ดจ์ เชื่อมระหว่างโนด
เพื่อเป็นตัวแทนของสะพาน

00:02:04.198 --> 00:02:09.619
และกราฟที่ง่ายขึ้นนี้ช่วยให้เรา
นับดีกรีของแต่ละโนดได้ง่ายดาย

00:02:09.619 --> 00:02:13.219
ดีกรี คือจำนวนสะพานที่แต่ละ
ผืนดินสัมผัส

00:02:13.219 --> 00:02:14.598
ทำไมดีกรีจึงสำคัญน่ะหรือ

00:02:14.598 --> 00:02:16.828
ก็เพราะตามกฎของคำท้า

00:02:16.828 --> 00:02:20.678
เมื่อนักเดินทางไปถึง
ผืนดินหนึ่งด้วยสะพานหนึ่งแล้ว

00:02:20.678 --> 00:02:23.800
พวกเขาต้องออกจากผืนดินนั้น
โดยใช้สะพานอื่น

00:02:23.800 --> 00:02:28.168
ซึ่งก็คือ สะพานที่เข้าและออก
จากแต่ละโนดในเส้นทางใดก็ได้

00:02:28.168 --> 00:02:30.587
แต่ต้องมีเป็นคู่ ๆ ที่แตกต่างกัน

00:02:30.587 --> 00:02:34.239
หมายความว่าจำนวนสะพาน
ที่สัมผัสแต่ละผืนดินที่เดินผ่าน

00:02:34.239 --> 00:02:36.368
ต้องเป็นจำนวนคู่

00:02:36.368 --> 00:02:40.029
มีเพียงข้อยกเว้นที่เป็นไปได้
คือ ตำแหน่งของจุดเริ่มต้น

00:02:40.029 --> 00:02:42.267
และจุดที่สิ้นสุดการเดิน

00:02:42.267 --> 00:02:47.218
เมื่อมองไปที่กราฟ เป็นที่ชัดแจ้ง
ว่า ทั้งสี่โนด มีดีกรีเป็นจำนวนคี่

00:02:47.218 --> 00:02:49.187
ดังนั้น ไม่ว่าจะเลือกเส้นทางใด

00:02:49.187 --> 00:02:53.440
เมื่อถึงจุดหนึ่ง จะต้องมีสะพาน 
สักแห่งที่ถูกข้ามซ้ำสองครั้ง

00:02:53.440 --> 00:02:57.709
ออยเลอร์ได้ใช้บทพิสูจน์นี้
สร้างทฤษฎีทั่วไปขึ้นมา

00:02:57.709 --> 00:03:01.721
ซึ่งประยุกต์ใช้กับกราฟที่มี
ตั้งแต่สองโนดขึ้นไปทั้งหมด

00:03:01.721 --> 00:03:05.790
เส้นทางออยเลอร์ ซึ่งเดินผ่าน
แต่ละเอ็ดจ์เพียงครั้งเดียว

00:03:05.790 --> 00:03:09.159
มีเพียงหนึ่งในสองกรณีต่อไปนี้
เท่านั้นที่เป็นไปได้

00:03:09.159 --> 00:03:13.769
กรณีแรก คือ เมื่อมีโนดที่มีดีกรี
จำนวนคี่อยู่สองโนดพอดี

00:03:13.769 --> 00:03:16.310
หมายถึงโนดที่เหลือทั้งหมดมี
ดีกรีจำนวนคู่

00:03:16.310 --> 00:03:19.659
ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นคือ
หนึ่งในสองโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

00:03:19.659 --> 00:03:21.770
และจุดสิ้นสุดคือ
อีกโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

00:03:21.770 --> 00:03:26.091
กรณีที่สอง คือ เมื่อโนดทั้งหมด
มีดีกรีเป็นจำนวนคู่

00:03:26.091 --> 00:03:31.231
ในกรณีนี้ เส้นทางออยเลอร์จะ
เริ่มต้นและสิ้นสุดในตำแหน่งเดียวกัน

00:03:31.231 --> 00:03:34.758
ซึ่งทำให้มันกลายเป็นสิ่งที่เรียกว่า
วงจรออยเลอร์

00:03:34.758 --> 00:03:38.460
แล้วเราจะสร้างเส้นทางออยเลอร์
ในเคอนิกส์แบร์กได้อย่างไร

00:03:38.460 --> 00:03:39.302
มันง่ายมาก

00:03:39.302 --> 00:03:41.402
แค่เอาสะพานไหนก็ได้ออก
ไปสักหนึ่งสะพาน

00:03:41.402 --> 00:03:46.080
และปรากฏว่าประวัติศาสตร์
ได้สร้างเส้นทางออยเลอร์ของมันเอง

00:03:46.080 --> 00:03:50.198
ในสงครามโลกครั้งที่ 2 กองทัพอากาศ
โซเวียตทำลายสะพานเมืองไปสองแห่ง

00:03:50.198 --> 00:03:53.531
ทำให้เส้นทางออยเลอร์
เป็นไปได้อย่างง่ายดาย

00:03:53.531 --> 00:03:57.291
ซึ่งถ้าว่ากันตามจริงแล้ว นั่นอาจจะ
ไม่ใช่ความตั้งใจของพวกเขาหรอก

00:03:57.291 --> 00:04:00.781
การทิ้งระเบิดครั้งนั้นแทบจะกวาด
เคอนิกส์แบร์กออกจากแผนที่ไปเลย

00:04:00.781 --> 00:04:04.910
และได้สร้างใหม่ขึ้นในภายหลัง
เป็นเมืองคาลินินกราดแห่งรัสเซีย

00:04:04.910 --> 00:04:09.083
ดังนั้น แม้ว่าอาจไม่มีเคอนิกส์แบร์ก
กับสะพานทั้งเจ็ดอีกต่อไปแล้ว

00:04:09.083 --> 00:04:13.361
แต่จะเป็นที่จดจำไปชั่วประวัติศาสตร์
เพียงเพราะปริศนาหนึ่งที่ดูแสนธรรมดา

00:04:13.361 --> 00:04:17.662
ซึ่งนำไปสู่การกำเนิด
คณิตศาสตร์สาขาใหม่