1
00:00:09,036 --> 00:00:14,106
คุณคงลำบากแน่ หากจะมองหา
เคอนิกส์แบร์กบนแผนที่ยุคใหม่

2
00:00:14,106 --> 00:00:17,415
แต่จุดหนึ่งที่น่าสนใจ
ในภูมิศาสตร์ของมัน

3
00:00:17,415 --> 00:00:22,205
ได้ทำให้มันเป็นหนึ่งในเมืองที่มี
ชื่อเสียงที่สุดในโลกคณิตศาสตร์

4
00:00:22,205 --> 00:00:26,214
เมืองเยอรมันยุคกลาง
ตั้งอยู่บนสองฝั่งแม่น้ำพรีเกิล

5
00:00:26,214 --> 00:00:28,875
ณ ใจกลางมีเกาะขนาดใหญ่
สองเกาะ

6
00:00:28,875 --> 00:00:33,124
เกาะทั้งสองนี้เชื่อมต่อถึงกัน
และยังเชื่อมต่อกับฝั่งแม่น้ำ

7
00:00:33,124 --> 00:00:35,884
ด้วยสะพานทั้งเจ็ด

8
00:00:35,884 --> 00:00:41,296
นักคณิตศาสตร์ คาร์ล ก็อตลีบพ์ อีเลอ
ผู้ต่อมาเป็นนายกเทศมนตรีเมืองใกล้ ๆ

9
00:00:41,296 --> 00:00:44,395
หมกมุ่นอยู่กับเกาะและสะพานเหล่านี้

10
00:00:44,395 --> 00:00:47,205
เขาคิดย้อนทวนถึงปัญหาอยู่ข้อเดียว

11
00:00:47,205 --> 00:00:51,095
ต้องใช้เส้นทางไหนดีจึงจะ
ข้ามสะพานได้ครบทั้งเจ็ด

12
00:00:51,095 --> 00:00:55,136
โดยที่ไม่ข้ามซ้ำสะพานเดิม

13
00:00:55,136 --> 00:00:56,946
ลองหยุดคิดกันดูสักครู่

14
00:00:56,946 --> 00:00:57,936
7

15
00:00:57,936 --> 00:00:58,947
6

16
00:00:58,947 --> 00:00:59,916
5

17
00:00:59,916 --> 00:01:00,847
4

18
00:01:00,847 --> 00:01:01,956
3

19
00:01:01,956 --> 00:01:02,886
2

20
00:01:02,886 --> 00:01:03,996
1

21
00:01:03,996 --> 00:01:05,076
ยอมแพ้แล้วหรือ

22
00:01:05,076 --> 00:01:06,198
ก็น่าอยู่หรอก

23
00:01:06,198 --> 00:01:07,513
เพราะมันเป็นไปไม่ได้

24
00:01:07,513 --> 00:01:12,636
แต่ความเพียรอธิบายสาเหตุ ทำให้
นักคณิตศาสตร์คนดัง ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์

25
00:01:12,636 --> 00:01:15,997
สรรค์สร้างคณิตศาสตร์สาขาใหม่

26
00:01:15,997 --> 00:01:18,648
คาร์ลเขียนจดหมายถึงออยเลอร์
ให้ช่วยไขปริศนา

27
00:01:18,648 --> 00:01:23,367
ครั้งแรกออยเลอร์ละเลยคำถามนี้
เพราะไม่ใช่เรื่องของคณิตศาสตร์

28
00:01:23,367 --> 00:01:25,136
แต่ยิ่งเขาครุ่นคิดถึงมันมากเท่าไร

29
00:01:25,136 --> 00:01:28,977
ก็ยิ่งดูเหมือนว่ามีอะไรสักอย่างอยู่ดี

30
00:01:28,977 --> 00:01:32,906
คำตอบที่เขาค้นพบ
เป็นเรื่องเกี่ยวกับเรขาคณิตชนิดหนึ่ง

31
00:01:32,906 --> 00:01:38,258
ซึ่งยังไม่เคยมีมาก่อน เขาเรียกมันว่า
เรขาคณิตของตำแหน่ง

32
00:01:38,258 --> 00:01:41,897
ปัจจุบันคือทฤษฎีกราฟ

33
00:01:41,897 --> 00:01:43,443
ข้อสังเกตแรกของออยเลอร์

34
00:01:43,443 --> 00:01:48,507
คือเส้นทางที่เลือกระหว่างการเข้าไปใน
เกาะหรือฝั่งแม่น้ำและการออกจากที่นั่น

35
00:01:48,507 --> 00:01:50,578
อันที่จริงแล้วไม่ได้สำคัญนัก

36
00:01:50,578 --> 00:01:54,427
ฉะนั้นจึงสามารถลดรูปแผนที่ให้ง่ายขึ้น
โดยให้แต่ละผืนดินจากทั้งสี่แห่ง

37
00:01:54,427 --> 00:01:56,627
ถูกแทนที่ด้วยจุดเดียว

38
00:01:56,627 --> 00:01:59,297
ซึ่งปัจจุบันเราเรียกว่า โนด

39
00:01:59,297 --> 00:02:04,198
ด้วยเส้น หรือ เอ็ดจ์ เชื่อมระหว่างโนด
เพื่อเป็นตัวแทนของสะพาน

40
00:02:04,198 --> 00:02:09,619
และกราฟที่ง่ายขึ้นนี้ช่วยให้เรา
นับดีกรีของแต่ละโนดได้ง่ายดาย

41
00:02:09,619 --> 00:02:13,219
ดีกรี คือจำนวนสะพานที่แต่ละ
ผืนดินสัมผัส

42
00:02:13,219 --> 00:02:14,598
ทำไมดีกรีจึงสำคัญน่ะหรือ

43
00:02:14,598 --> 00:02:16,828
ก็เพราะตามกฎของคำท้า

44
00:02:16,828 --> 00:02:20,678
เมื่อนักเดินทางไปถึง
ผืนดินหนึ่งด้วยสะพานหนึ่งแล้ว

45
00:02:20,678 --> 00:02:23,800
พวกเขาต้องออกจากผืนดินนั้น
โดยใช้สะพานอื่น

46
00:02:23,800 --> 00:02:28,168
ซึ่งก็คือ สะพานที่เข้าและออก
จากแต่ละโนดในเส้นทางใดก็ได้

47
00:02:28,168 --> 00:02:30,587
แต่ต้องมีเป็นคู่ ๆ ที่แตกต่างกัน

48
00:02:30,587 --> 00:02:34,239
หมายความว่าจำนวนสะพาน
ที่สัมผัสแต่ละผืนดินที่เดินผ่าน

49
00:02:34,239 --> 00:02:36,368
ต้องเป็นจำนวนคู่

50
00:02:36,368 --> 00:02:40,029
มีเพียงข้อยกเว้นที่เป็นไปได้
คือ ตำแหน่งของจุดเริ่มต้น

51
00:02:40,029 --> 00:02:42,267
และจุดที่สิ้นสุดการเดิน

52
00:02:42,267 --> 00:02:47,218
เมื่อมองไปที่กราฟ เป็นที่ชัดแจ้ง
ว่า ทั้งสี่โนด มีดีกรีเป็นจำนวนคี่

53
00:02:47,218 --> 00:02:49,187
ดังนั้น ไม่ว่าจะเลือกเส้นทางใด

54
00:02:49,187 --> 00:02:53,440
เมื่อถึงจุดหนึ่ง จะต้องมีสะพาน 
สักแห่งที่ถูกข้ามซ้ำสองครั้ง

55
00:02:53,440 --> 00:02:57,709
ออยเลอร์ได้ใช้บทพิสูจน์นี้
สร้างทฤษฎีทั่วไปขึ้นมา

56
00:02:57,709 --> 00:03:01,721
ซึ่งประยุกต์ใช้กับกราฟที่มี
ตั้งแต่สองโนดขึ้นไปทั้งหมด

57
00:03:01,721 --> 00:03:05,790
เส้นทางออยเลอร์ ซึ่งเดินผ่าน
แต่ละเอ็ดจ์เพียงครั้งเดียว

58
00:03:05,790 --> 00:03:09,159
มีเพียงหนึ่งในสองกรณีต่อไปนี้
เท่านั้นที่เป็นไปได้

59
00:03:09,159 --> 00:03:13,769
กรณีแรก คือ เมื่อมีโนดที่มีดีกรี
จำนวนคี่อยู่สองโนดพอดี

60
00:03:13,769 --> 00:03:16,310
หมายถึงโนดที่เหลือทั้งหมดมี
ดีกรีจำนวนคู่

61
00:03:16,310 --> 00:03:19,659
ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นคือ
หนึ่งในสองโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

62
00:03:19,659 --> 00:03:21,770
และจุดสิ้นสุดคือ
อีกโนดที่มีดีกรีจำนวนคี่

63
00:03:21,770 --> 00:03:26,091
กรณีที่สอง คือ เมื่อโนดทั้งหมด
มีดีกรีเป็นจำนวนคู่

64
00:03:26,091 --> 00:03:31,231
ในกรณีนี้ เส้นทางออยเลอร์จะ
เริ่มต้นและสิ้นสุดในตำแหน่งเดียวกัน

65
00:03:31,231 --> 00:03:34,758
ซึ่งทำให้มันกลายเป็นสิ่งที่เรียกว่า
วงจรออยเลอร์

66
00:03:34,758 --> 00:03:38,460
แล้วเราจะสร้างเส้นทางออยเลอร์
ในเคอนิกส์แบร์กได้อย่างไร

67
00:03:38,460 --> 00:03:39,302
มันง่ายมาก

68
00:03:39,302 --> 00:03:41,402
แค่เอาสะพานไหนก็ได้ออก
ไปสักหนึ่งสะพาน

69
00:03:41,402 --> 00:03:46,080
และปรากฏว่าประวัติศาสตร์
ได้สร้างเส้นทางออยเลอร์ของมันเอง

70
00:03:46,080 --> 00:03:50,198
ในสงครามโลกครั้งที่ 2 กองทัพอากาศ
โซเวียตทำลายสะพานเมืองไปสองแห่ง

71
00:03:50,198 --> 00:03:53,531
ทำให้เส้นทางออยเลอร์
เป็นไปได้อย่างง่ายดาย

72
00:03:53,531 --> 00:03:57,291
ซึ่งถ้าว่ากันตามจริงแล้ว นั่นอาจจะ
ไม่ใช่ความตั้งใจของพวกเขาหรอก

73
00:03:57,291 --> 00:04:00,781
การทิ้งระเบิดครั้งนั้นแทบจะกวาด
เคอนิกส์แบร์กออกจากแผนที่ไปเลย

74
00:04:00,781 --> 00:04:04,910
และได้สร้างใหม่ขึ้นในภายหลัง
เป็นเมืองคาลินินกราดแห่งรัสเซีย

75
00:04:04,910 --> 00:04:09,083
ดังนั้น แม้ว่าอาจไม่มีเคอนิกส์แบร์ก
กับสะพานทั้งเจ็ดอีกต่อไปแล้ว

76
00:04:09,083 --> 00:04:13,361
แต่จะเป็นที่จดจำไปชั่วประวัติศาสตร์
เพียงเพราะปริศนาหนึ่งที่ดูแสนธรรมดา

77
00:04:13,361 --> 00:04:17,662
ซึ่งนำไปสู่การกำเนิด
คณิตศาสตร์สาขาใหม่